（一）排列問題：從個(gè)元素中取個(gè)元素，需要考慮的順序，用表示。

注意：只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列。

補(bǔ)充：規(guī)定0  1

基本排列問題例題

在某市物理競(jìng)賽中，一中、二中、三中三所學(xué)校分別有3名、2名、1名同學(xué)獲得一等獎(jiǎng)，將這6名同學(xué)排成一排合影，要求來(lái)自同一個(gè)學(xué)校的學(xué)生站在一起，則不同的排法共有（??）種。

A. 12 B. 36 C. 72 D. 120 E. 720

【答案】C

（二）組合問題：從個(gè)元素中取個(gè)元素，無(wú)需考慮的順序，用表示。

基本組合問題例題

飛騰公司近期組織員工出差培訓(xùn)，每回去兩個(gè)人，從甲、乙、丙、丁、戊、己中任選兩人出行，那么共有（??）種不同的方案。

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 E. 25

【答案】C

加法原理：完成一件事共有類辦法；在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，…在第類辦法中有種不同的方法；那么完成這件事共有種不同方法。

乘法原理：完成一件事需要分成個(gè)步驟；完成第一步有種不同的方法，完成第二步有種不同的方法，…完成第步有種不同的方法；那么完成這件事共有種不同的方法。

解題關(guān)鍵：題干信息變化萬(wàn)千但不離其宗，我們需要從其中提取出關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息，用邏輯思維進(jìn)行整合判斷。將所有的題目拆解為“選取”和“排序”的過(guò)程，據(jù)此寫對(duì)應(yīng)表達(dá)式。

考向1 相鄰問題——捆綁法：題目中規(guī)定某些元素必須相鄰，解題時(shí)當(dāng)作一個(gè)大元素來(lái)進(jìn)行排列。

注意：較復(fù)雜題目有存在多個(gè)大元素的情況。

例題：第一中學(xué)甲班的6名學(xué)生一起去大劇院觀看表演，安排有A、B兩排座位，每排3個(gè)位置。其中小明和小紅坐在一起的排法有（??）種。

A. 48 B. 96 C. 120 D. 168 E. 192

【答案】E

【解析】A排：①②③??B排：④⑤⑥

小明和小紅必須要坐在一起，他們只能坐①②、②③、④⑤、⑤⑥，共有種，其他四名同學(xué)在剩下四個(gè)位置排序種，故共有種。

考向2 相離問題——插空法：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端。

例題：7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相鄰，則有（??）種不同的排法。

A. 1020 B. 1040 C. 1140 D. 1220 E. 1440

【答案】E

【解析】除去甲、乙、丙三人余下四個(gè)人站位圖：①A②B③C④D⑤，他們之間有①②③④⑤種空位可以分別插入甲、乙、丙三人，則有種。

如果相鄰與相離問題同時(shí)出現(xiàn)，則先考慮相鄰元素，最后考慮相離元素。

考向3 隔板法：利用假定的隔板解決相同元素的分配問題。

題干標(biāo)準(zhǔn)形式一般表述為：將n個(gè)相同的元素分給個(gè)不同的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)元素，求一共有多少種分法。

解題方法：將n個(gè)相同的元素排成一排，之間有n-1個(gè)空位，插入m-1塊隔板就可以分成m份，最后共有種分法。

例題：趙一的媽媽來(lái)學(xué)校探望他，帶了一籃香蕉讓他和好朋友們共同分享。香蕉一共9支，分給寢室內(nèi)包含趙一在內(nèi)的四人，需保證每人至少有一支，那么總共有（??）種不同的分法。

A. 40 B. 48 C. 56 D. 64 E. 72

【答案】C

【解析】利用隔板法，最后答案為種。

考向4 方冪法

審題重點(diǎn)：題干信息需要區(qū)分“可重復(fù)元素”和“不可重復(fù)元素”兩類元素。

解題方法：一共有“可重復(fù)元素不可重復(fù)元素”種情況，即“可重復(fù)元素”為底數(shù)，“不可重復(fù)元素”為指數(shù)。

例題：從甲市到乙市的大巴上共有20人，沿途共7個(gè)停靠點(diǎn)（包括乙市在內(nèi)），則不同的下車方法共有（??）種。

【答案】B

【解析】第1個(gè)人下車有7種方法，第2個(gè)人下車有7種方法……故總共有種方法。