二、資金的時間價值
(一)資金時間價值的含義
資金時間價值，是指一定量資金在不同時點上的價值量差額。
(二)終值與現值的計算
終值又稱將來值，是現在一定量的資金折算到未來某一時點所對應的金額，通常記作F。
現值是指未來某一時點上的一定量資金折算到現在所對應的金額，通常記作P。
1．單利的終值和現值
(1)終值F=P×(1+n·i)
(2)現值P=F/(1+n·i)
2．復利的終值和現值(已知P，求F；已知F，求P)
(1)終值F=P×(1+i)n=P×(F/P，i，n)
(2)現值P=F/(1+i)n=F×(P/F，i，n)
【例題9·計算題】某人擬購房，開發商提出兩個方案：方案一是現在一次性支付80萬元；方案二是5年后支付100萬元。若目前的銀行貸款利率是7%(復利計息)，應如何付款?
(F/P，7%，5)=1.4026，(P/F，7%，5)=0.7130
【答案】比較終值：方案一：F=80×(F/P，7%，5)=112.208(萬元)>100萬元
比較現值：方案二：P=100×(P/F，7%，5)=71.3(萬元)<80萬元
從上面的計算可以看出，無論比較終值還是比較現值，第二個付款方案都比第一個付款方案好。
3．年金終值和年金現值的計算【★2011年單選題、2010年單選題】
年金包括普通年金、即付年金、遞延年金、永續年金等形式。
普通年金(后付年金)和即付年金(先付年金)是年金的基本形式，都是從第一期開始發生等額收付，區別是前者等額收付發生在期末，后者等額收付發生在期初。遞延年金和永續年金是派生出來的年金。遞延年金等額收付從第二期或第二期以后才發生(期末發生)，而永續年金的等額收付期有無窮多個。
【提示】
(1)年金中收付的間隔時間不一定是1年，可以是半年、1個月等。
(2)年金中收付的起始時間可以是任何時點，不一定是年初或年末。
【例題10·判斷題】每半年付息一次的債券利息不是年金的形式。（　　）
【答案】×
【解析】在年金中，系列等額收付的間隔期間只需要滿足“相等”的條件即可，間隔期間完全可以不是一年。
【例題11·單選題】2011年1月1日，A公司租用一層寫字樓作為辦公場所，租賃期限為3年，每年1月1日支付租金20萬元，共支付3年。該租金有年金的特點，屬于（　　）。
A．普通年金
B．即付年金
C．遞延年金
D．永續年金
【答案】B
【解析】年初等額支付，屬于即付年金。
(1)普通年金終值(已知期末等額收付的年金A，求年金終值F)
普通年金終值是指普通年金在最后一次收付時的本利和，它是每期期末等額收付款項A的復利終值之和。

【例題12·單選題】企業有一筆5年后到期的貸款，每年年末歸還借款3000元，假設貸款年利率為2%，則企業該筆貸款的到期值為（　　）元。已知(F/A，2%，5)=5.2040，(P/A，2%，5)=4.7135
A．15612
B．14140.5
C．15660
D．18372
【答案】A
【解析】貸款到期值=3000×(F/A，2%，5)=15612(元)。
(2)償債基金(已知普通年金終值F，求年金A)償債基金是指為了在約定的未來某一時點清償某筆債務或積聚一定數額的資金而必須分次等額形成的存款準備金。也就是為使年金終值達到既定金額的年金數額。在普通年金終值公式中解出的A就是償債基金。
【例題13·單選題】某公司擬于5年后一次還清所欠債務100000元，假定銀行利息率為10%，5年期、利率為10%的年金終值系數為6.1051，5年期、利率為10%的年金現值系數為3.7908，則應從現在起每年來等額存入銀行的償債基金為（　　）元。
A．16379.75
B．26379.66
C．379080
D．610510
【答案】A
【解析】本題屬于已知普通年金終值求年金，故答案為：100000/6.1051=16379.75(元)
(3)普通年金現值(已知期末等額收付的年金A，求年金現值P)
普通年金現值等于每期期末等額收付款項A的復利現值之和。

【例題14·單選題】某人分期購買一套住房，每年年末支付40000元，分5次付清，假設年利率為2%，則該項分期付款相當于現在一次性支付（　　）元。(P/A，2%，5)=4.7135
A．200000
B．188540
C．232950
D．252650
【答案】B
【解析】本題相當于求每年年末付款40000元，共計支付5年的年金現值，即40000×(P/A，2%，5)=40000×4.7135=188540(元)。
(4)年資本回收額(已知普通年金現值P，求年金A)
年資本回收額是指在約定期限內等額回收初始投入資本或清償所欠債務的金額。
【提示】
①年資本回收額與普通年金現值互為逆運算。
②資本回收系數和普通年金現值系數互為倒數。
③套用普通年金的終值公式計算得出的數值是最后一期期末的數值，即最后一次收付時點的數值；套用普通年金的現值公式計算得出的數值是第一期期初的數值，即第一次收付所在期的期初數值。了解這一點非常重要，計算即付年金及遞延年金的終值和現值將會用到這些重要的結論。
【例題15·單選題】某企業進行一項投資，目前支付的投資額是10000元，預計在未來6年內收回投資，在年利率是6%的情況下，為了使該項投資是合算的，那么企業每年至少應當收回（　　）元。(P/A，6%，6)=4.9173，(F/A，6%，6)=6.9753
A．1433.63
B．2033.64
C．2023.64
D．1443.63
【答案】B
【解析】每年的投資回收額=10000/(P/A，6%，6)=2033.64(元)。
(5)即付年金終值(已知每期期初等額收付的年金A，求F)
即付年金的終值是指把即付年金每個等額A都換算成第n期期末的數值，再求和。求即付年金的終值有兩種方法：
方法一：先將其看成普通年金。套用普通年金終值的計算公式，計算出在最后一個A位置上即第(n－1)期期末的數值，再將其往后調整一年，得出要求的第n期期末的終值。即：F=A×(F/A，i，n)×(1+i)=普通年金終值×(1+i)
方法二：先把即付年金轉換成普通年金。轉換的方法是，求終值時，假設最后一期期末有一個等額的收付，這樣就轉換為普通年金的終值問題，先計算期數為(n+1)期的普通年金的終值，再把多算的終值位置上的這個等額的收付A減掉，就得出即付年金終值。即付年金的終值系數和普通年金終值系數相比，期數加1，而系數減1。
即付年金終值=年金額×即付年金終值系數(在普通年金終值系數基礎上期數加1，系數減1)F=A×[(F/A，i，n+1)－1]
(6)即付年金現值(已知每期期初等額收付的年金A，求P)
求即付年金的現值也有兩種方法：
方法一：先將其看成普通年金。套用普通年金現值的計算公式，計算出第一個A前一期位置上，即第0期前一期的數值，再將其往后調整一期，得出要求的0時點(第1期期初)的數值。即：P=AX(P/A，i，n)×(1+i)=普通年金現值×(1+i)
方法二：先把即付年金轉換成普通年金，轉換的方法是，求現值時，假設0時點(第1期期初)沒有等額的收付，這樣就轉化為普通年金的現值問題，先計算期數為(n－1)期的普通年金的現值，再把原來未算的第1期期初位置上的這個等額的收付A加上，就得出即付年金現值，即付年金的現值系數和普通年金現值系數相比，期數減1，而系數加1。
即付年金現值=年金額×即付年金現值系數(在普通年金現值系數基礎上期數減1，系數加1)P=A×[(P/A，i，n－1)+1]
【速記】即付年金的現值就是把即付年金每個等額的A都換算成第1期期初(第0期)的數值，再求和。即付年金求終值和現值的思路：先將即付年金終值和現值問題轉換為普通年金的終值和現值問題，再進行調整，得到要求的即付年金終值和現值。
(7)遞延年金終值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求F)
遞延年金是指第一次等額收付發生在第二期或第二期以后的普通年金。圖示如下：

求遞延年金的終值與求普通年金的終值沒有差別(要注意期數)，遞延年金終值與遞延期無關。
如上圖中，遞延年金的終值為：F=A×(F/A，i，n)，其中，“n”表示的是A的個數，與遞延期無關。
(8)遞延年金現值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求P)

【提示】可以按照下面介紹的簡便方法確定遞延期m的數值：
①確定該遞延年金的第一次收付發生在第幾期末(假設為第W期末)(此時應該注意“下一期的期初相當于上一期的期末”)；
②根據(W－1)的數值確定遞延期m的數值。
【例題16·計算題】張先生準備購買一套新房，開發商提供了兩種付款方案讓張先生選擇：
(1)A方案，從第4年年末開始支付，每年年末支付20萬元，一共支付8年。
(2)B方案，按揭買房，每年年初支付15萬元，一共支付10年。
假設銀行利率為5%，請問張先生應該選擇哪種方案。
(P/A，5%，8)=6.4632，(P/F，5%，3)=0.8638
(P/A，5%，9)=7.1078
【答案】
A方案是遞延年金的形式，
A方案的現值=20×(P/A，5%，8)×(P/F，5%，3)=20×6.4632×0.8638=111.66(萬元)
B方案是即付年金的方式，
B方案現值=15×[(P/A，5%，10－1)+1]=15×(7.1078+1)=121.62(萬元)
由于B方案的現值121.62萬元大于A方案的現值111.66萬元，所以張先生應該選擇A方案。(9)永續年金現值(已知無限期等額收付的普通年金A，求P)
無限期等額收付的普通年金稱為永續年金，永續年金沒有終止時間，因此沒有終值。永續年金的現值可以通過普通年金現值的計算公式推導得出。
在普通年金的現值公式中，令n→∞，得出永續年金的現值：P=A/i
【例題17·判斷題】王先生希望退休以后每年初都能從銀行獲得2萬元的利息收入，假設銀行利率為4%，那么王先生應該在退休時存入銀行52萬元。（　　）
【答案】√
【解析】年初的2萬元相當于年末的2×(1+4%)，而永續年金是普通年金的特殊形式，永續年金期限為無窮大；所以，只有換算為每一年的年末數2×(1+4%)，才能按照永續年金的現值計算公式計算，結果為[2×(1+4%)]/4%=52(萬元)，或者按照2+2/4%計算。
【提示】系數之間的關系

終值和現值可以用復利公式相互推算，如普通年金知道終值，要求其現值，只要在終值的基礎上乘以復利現值系數，得出的就是普通年金的現值。即付年金和遞延年金也一樣。
(三)利率的計算
1．復利計息方式下的利率計算
在資金時間價值計算公式中，都有四個變量，已知其中三個的值，就可以推出第四個的值。前面討論的是終值F、現值P以及年金A的計算。這里討論已知終值或現值、年金、期數。求折現率，對于這類問題，只要代入有關公式求解折現率i即可。求解折現率通常要用內插法。
用內插法求解時，假定所求的變量和系數都成線性變動，用比例關系推出。
【例題18·計算題】某公司第一年初借款80000元，每年年末還本付息額均為16000元，連續9年還清。問借款利率是多少?
【答案】符合普通年金現值公式：
80000=16000×(P/A，i，9)→(P/A，i，9)=5
查表并用內插法求解。查表找出期數為9，年金現值系數比5大一點和小一點，最接近5的兩個數值。
(P/A，12%，9)=5.3282(P/A，14%，9)=4.9464

【提示】無論計算終值、現值，還是推算折現率，都可以按如下步驟進行：
(1)確定問題的類型，判斷是一次性收付款項還是年金，如果是午金，是哪一類年金；
(2)確定要解決什么問題，求終值、現值、年金，還是推算折現率；
(3)處理好有關細節問題，如期數與利率的一致性、即付年金轉化為普通年金等；
(4)代入資金時間價值的有關公式，計算終值、現值、年金；推算折現率時，需要查表，并用內插法求解。
(做題的時候涉及到的系數題目中一般會給出，一般能夠判斷用哪個系數計算即可)
2．名義利率與實際利率
(1)定義
如果以“年”作為基本計息期，每年計算一次復利，此時的年利率為名義利率(r)，如果按照短于1年的計息期計算復利，并將全年利息額除以年初的本金，此時得到的利率為實際利率(i)。
(2)實際利率與名義利率的換算公式

【例題19·單選題】一項600萬元的借款，借款期3年，年利率為10%，若每半年復利一次。則年實際利率為（　　）。
A．10%
B．5%
C．10.25%
D．10.75%
【答案】C
【解析】根據實際利率與名義利率之間關系式：i=(1+r/m)m－1=(1+10%/2)2－1=10.25%。

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