中級金融考點：利率的計算

一、利率概述

利率是指借款人在單位時間內(nèi)應支付的利息與借貸資金的比率。這里的利息(Interest)是資金所有者由于借出資金而取得的報酬。利率的高低不僅反映了金融市場上資金的借貸成本，而且反映了特定借貸資金的風險溢價。

按不同的劃分方法，利率可以分為不同種類。按利率的決定方式可分為固定利率與浮動利率;按利率的真實水平可分為名義利率與實際利率;按計算利率的期限單位可分為年利率、月利率、日利率。一般來說，年利率與月利率及日利率之間的換算公式如下：

年利率=月利率×12=日利率×360 (2-1)

二、單利與復利

(一)單利

單利就是不論借貸期限的長短，僅按本金計算利息，上期本金產(chǎn)生的利息不計入下期本金計算利息。單利計算公式為：I=P·r·n(2-2)

其中，I表示利息，P表示本金，r表示利率，n表示時間。根據(jù)中國人民銀行規(guī)定的計息規(guī)則，活期儲蓄存款按復利，每個季度計息，定期存款、定活兩便、零存整取、整存整取、整存零取等其他儲蓄存款按單利計息。

假如某借款人借款1萬元，約定年利率為6%，借款期限為10個月，按單利計算，到期應付利息為：

10000×0.5%×10=500(元)

(二)復利復利也稱利滾刑，是將每一期產(chǎn)生的利息加入本金一并計算下一期的利息。復利的計算公式為：FV=P(1+r)n(2-3)I=FV-P=P[(1+r)n-1] (2-4)

其中，F(xiàn)V表示本息和，I表示利息，P表示本金，r表示利率,n表示時間。

假設100元的存款以6%的年利率，按復利每半年支付一次利息，6個月末的本息和為：

FV1/2=100×(1+0.06÷2)=103(元)

一年后的本息和為：

FV1=100×(1+0.06÷2)2=106.09(元)

106.09元與一年計一次息的本息和106元比較，多出0.09元，這是因為對第一個6個月的利息3元計算利息的緣故，如果一年中計息次數(shù)增加，到年底本息和會越來越大。在上例中，如果一個季度支付一次利息，一年后的本息和為：FV1=100×(1+0.06÷4)4=106.14(元)如果一個月支付一次利息，一年后的本息和為：

FV1=100×(1+0.06÷12)12=106.17(元)一般來說，若本金為P，年利率為r，每年的計息次數(shù)為，n，則第n年末的本息和為：

(三)連續(xù)復利

假定本金為100元，年利率為6%，期限為一年的資金在不同計息周期下的本息和見表2-1。

每年的計息次數(shù)越多，最終的本息和越大。隨著計息間隔的縮短，本息和以遞減的速度增加，最后等于連續(xù)復利的本息和。

三、現(xiàn)值與終值

現(xiàn)值(PresentValue)又稱在用價值，是現(xiàn)在和將來(或過去)的一筆支付或支付流在今天的價值。

(一)系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值

假如我們有一系列的現(xiàn)金流，第一年年末是100，第二年年末是200，第三年年末是200，第四年年末是300，若貼現(xiàn)率為8%，這一系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值可以通過每筆資金現(xiàn)金現(xiàn)值的加總得到。

第一年年末收入100的現(xiàn)值：100÷(1+8%)=92.59

第二年年末收入200的現(xiàn)值：200÷(1+8%)2=171.47

第三年年末收入200的現(xiàn)值：200÷(1+8%)3=158.77

第四年年末收入300的現(xiàn)值：300÷(1+8%)4=220.51

總現(xiàn)值：643.34

一般地，系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值可由下面的公式得到： 

 每年的計息次數(shù)越多，現(xiàn)值越小。隨著計息間隔的縮短，現(xiàn)值以遞減的速度減小，最后等于連續(xù)復利條件下的現(xiàn)值。

(三)終值及其計算

終值(FutureValue)又稱將來值或本息和，是指現(xiàn)在一定量的資金在未來某一時點上的價值。終值的大小不僅取決于現(xiàn)值的大小，而且與利率的高低、借款期限和計息方式有關(guān)。

終值的計算有兩種方式：單利和復利。

假如當前有一筆資金，共計金額為P，存期為n年，年利率為廠，如果按單利計算，則n年后的終值FVn為：

FVn=P+P·r·n=P(1+r·n) (2—10)

例如，王先生最近購買彩票，中獎1萬元，他想將這筆錢存入銀行，以便將來退休時用，設王先生還有10年退休，如按單利計算，年存款利率為4%，那么10年后王先生退休時能拿到多少錢?

如果按單利計算，王先生退休時能拿的本息和為10000×(1+4%×10)=14000元。

假設當前有一筆資金，共計金額為P，存期為n年，年利率為r，如果每年復利一次，則n年后的終值FVn為：

第1年年末的本息和為P(1+r)

第2年年末的本息和為P(1+r)(1+r)=P(1+r)2

第3年年末的本息和為P(1+r)2(1+r)=P(1+r)3

第n年年末的本息和為P(1+r)n

因此，F(xiàn)V=P(1+r)n，其中(1+r)n稱為復利終值系數(shù)。

上例中，如果按復利計算，則王先生10年后可獲得：

10000×(1+4%)10=14802.44(元)