風險管理常用的概率統計知識

1.5.1基本概念

1．概率

概率是對不確定性事件進行描述的最有效的數學工具，是對不確定性事件發生可能性的一種度量。

不確定性事件是指，在相同的條件下重復一個行為或試驗，所出現的結果有多種，但具體是哪種結果事前不可預知。

確定性事件是指，在相同的條件下重復同一行為或試驗，出現的結果也是相同的。確定性事件的出現具有必然性，而不確定性事件的出現具有偶然性。

概率所描述的是偶然事件，是對未來發生的不確定性中的數量規律進行度量。

2．隨機事件

在每次隨機試驗中可能出現，也可能不出現的結果成為隨機事件。

隨機事件由基本事件構成。基本事件是隨機試驗中不能再分解的最簡單的隨機事件。

【例題】

下列關于事件的說法，錯誤的是（C）。

A．概率描述的是偶然事件，是對未來發生的不確定性中的數量規律進行度量。

B．不確定性事件是指，在相同的條件下重復一個行為或試驗，所出現的結果有多種，但具體是哪種結果事前不可預知。

C．確定性事件是指，在不同的條件下重復同一行為或試驗，出現的結果也是相同的。

D．在每次隨機試驗中可能出現，也可能不出現的結果稱為隨機事件。

3．隨機變量

隨機變量就使用數值來表示隨機事件的結果。

根據所給出的結果和對應到實數空間的函數取值范圍，可以把隨機變量分為離散型隨機變量和連續型隨機變量。

（1）離散型隨機變量的概率分布

離散型隨機變量的一切可能值及與其取值相應的概率，稱做離散型隨機變量的概率分布，表示法有列舉法或表格法。

①列舉法

②表格法

可以通過重復試驗發生的頻率來定義離散型隨機變量的概率。在相同條件下，重復進行n次試驗，事件A發生m（m≤n）次，則稱比值m/n為事件A發生的頻率。頻率m/n的這個穩定值p稱為事件A的概率，記作P（A）=p。

（2）連續型隨機變量的概率分布

連續型隨機變量的概率分布通常使用累積概率分布或概率密度來定義。

無論是離散型隨機變量還是連續型隨機變量，都可以用一種統一的形式即分布函數來描述其概率特征。若X的分布函數F（x）已知，就能知道X落在任一區間（x1，x2]上的概率。

（3）隨機變量的期望值和方差

期望值是隨機變量的概率加權和。隨機變量的方差描述了隨機變量偏離其期望值的程度。方差是隨機變量取值偏離期望值的概率加權和。

對離散型的隨機變量，方差可以用求和式表示為：

對連續型的隨機變量，方差可以通過定積分公式表示為：

【例題】

隨機變量X的概率分布表如下：

X1410

P20%40%40%

則，隨機變量X的期望是（A）。

A．5.8

B．6.0

C．4

D．4.8

標準差（或稱為波動率）是隨機變量方差的平方根，隨機變量的標準差是對隨機變量不確定性程度進行刻畫的一種常用指標。

1.5.２常用統計分布

1．均勻分布

均勻分布的分布函數是一條斜線。

【例題】

隨機變量X服從均勻分布U（-1，3），則隨機變量X的均值和方差分別是（C）。

A．1和2.33

B．2和1.33

C．1和1.33

D．2和2.33

2．二項分布

二項分布是描述只有兩種可能結果的多次重復事件的離散型隨機變量的概率分布。

二項分布的數學期望和方差：E（X）=mp，Var（X）=np（1-p）。

3.正態分布

正態隨機變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標準差范圍內的概率約為0.95，而在距均值的距離為3倍標準差內的概率約為0.9973。

當μ=0，σ=1時，稱正態分布為標準正態分布。

在風險計量的理論研究和實際應用中，正態分布起著特別重要的作用。實際中遇到的許多隨機現象都服從或近似地服從正態分布。

【例題】

正態分布的圖形特征是（A）。

A．中間高，兩邊低，左右對稱

B．左高右低

C．右高左低

D．中間低，兩邊高，左右對稱

【例題】

正態隨機變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標準差范圍內的概率約為（B）。

A．68%

B．95%

C．32%

D．50%

風險管理的數理基礎

1.6.1收益的計量

1．絕對收益

絕對收益是對投資成果的直接衡量，反映投資行為得到的增值部分的絕對量。

絕對收益=P-P0

最常用的兩種相對收益計量方法是百分比收益率和對數收益率。

2．百分比收益率

百分比收益率是對期初投資額的一個單位化調整，即一個單位貨幣在給定投資周期的收益率。

百分比收益率只考慮了期初的投資額，沒有考慮不同投資期限的影響。

背景知識：計算資產組合收益率

資產組合的百分比收益率等于各資產百分比收益率的加權平均。對于包含N種資產的投資組合，總資產的百分比收益率為：。

3．對數收益率

當復利是連續計算時，就得到對數收益率。對數收益率是兩個時期資產價值取對數后的差額：

即資產多個時期的對數收益率等于其各時期對數收益率之和。

【例題】

下列關于收益計量的說法，正確的是（B）。

A．相對收益是對投資成果的直接衡量，反映投資行為得到的增值部分的絕對量。

B．資產多個時期的對數收益率等于其各時期對數收益率之和。

C．資產多個時期的百分比收益率等于其各時期百分比收益率之和。

D．百分比收益是絕對收益。

1.6.2風險的量化原理

1．預期收益率和方差的計算

風險管理過程中所計算的預期收益率是一種平均水平的概念，但不是簡單的直接平均，而是對未來可能結果的加權平均，即每一種結果的收益率乘以這種結果出現的可能性。

不確定結果的標準差通常被用來刻畫其不確定程度，標準差越大表明不確定性越大，即出現較大收益或損失的機會增大。當標準差很小或接近于零時，可能出現的結果的不確定性程度減小。

【例題】

假定股票市場一年后可能出現5種情況，每種情況所對應的概率和收益率如下表所示：

概率0.050.200.150.250.35

收益率50%15%-10%-25%40%

則，一年后投資股票市場的預期收益率為（D）。

A．18.25%

B．27.25%

C．11.25%

D．11.75%