《實變函數論》 考試大綱
(科目代碼：526)
一、 考核要求
實變函數是數學與應用數學的專業課之一。通過本課程的學習，使學生掌握實變函數的基本理論、基本知識與基本方法，為以后進一步的深入學習其它學科打下堅實的基礎。本課程的具體要求有：掌握集合論的基本理論;初步掌握和了解測度論的基本知識;熟練掌握可測函數的基本概念和基本性質，掌握Lebesgue 積分的理論和方法。
二、 考核內容
第一章 集合
1、知識點
集合的概念和運算，對等與基數，可數集合，不可數集合，半序集和曹恩引理。
2、考核要求
1)掌握集合交，并、余等運算和上、下極限的定義和基本運算;
2)熟練掌握集合的對等的定義與性質;能熟練應用伯恩斯坦(Bernstein)定理證明集合的對等關系;
3)理解基數的定義;掌握可數集與不可數集的性質，會判斷給定的集合是否可數。
第二章 點集
1、知識點
度量空間(n維歐氏空間)，聚點、內點和界點，開集、閉集、完備集及其構造。
2、考核要求
1) 理解和掌握度量空間的定義，鄰域的性質，有界點集的定義和n維區間的體積;
2) 熟練掌握n維區間點的關系，聚點、內點和界點的定義聚點與等價條件;
3) 掌握開核、邊界和導集的概念和性質極其相互關系;
4) 理解和掌握開集、閉集和完備集的性質;
5) 理解開集的構成區間與余區間，了解開集、閉集的構造;熟練掌握康托爾集的構成和性質。
第三章 測度論
1、知識點
約當測度，Lebesgue 外測度和內測度，可測集。
2、考核要求
1)測度的定義和性質;
2)掌握Lebesgue 外測度和內測度的定義和基本性質;
3)練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測集的定義及可測集的基本運算性質;
4)掌握零測集的性質;開集、閉集的可測性;
5)約當測度與Lebesgue測度的關系;
6)解特殊的兩類集合，波雷耳集。
第四章 可測函數
1、知識點
可測函數及其性質，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂。
2、考核要求
1)熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡單函數的關系，幾乎處處成立的概念;
2)理解葉果洛夫定理;
3)理解并掌握魯津定理及其逆定理;
4)熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反例，Riese定理和Lebesgue收斂定理。
第五章 積分論
1、知識點
Riemann積分，勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質，一般可積函數，積分的極限定理。
2、考核要求
1)了解由確界式定義的Riemann積分，及Riemann積分的缺陷;
2)理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件;可積的四則運算，勒貝格積分與Riemann積分的關系;
3)熟練掌握勒貝格積分的基本性質和絕對連續性 ;
4)熟練掌握一般可積函數的L積分的定義和初等性質;
5)牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou引理及有關積分與求導交換的定理。
三、參考書目
1.《實變函數與泛函分析》，程其襄，張奠宙，胡善文等編， 第3版，高等教育出版社，2010.6.
2.《實變函數論》,周民強 編著，北京大學出版社，2001.7.
原標題：西北師范大學2024年碩士研究生招生考試自命題科目參考大綱
文章來源：https://link.233.com/25320/_t334/2023/0725/c2701a214730/page.htm
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