第二節、離散程度的測度

　　本節考點：

　　1、測度離散程度的指標

　　2、極差的含義和計算方法

　　3、標準差和方差的計算方法和應用

　　4、離散系數的計算方法和具體應用

　　本節內容：

　　離散程度是指數據之間的差異程度或頻數分布的分散程度。

　　集中趨勢的測試值是對數據一般水平的一個概括性變量，它對一組數據的代表程度，取決于該組數據的離散水平。數據的離散程度越大，集中趨勢的測試值對該組數據的代表性就越差，離散程度越小，其代表性就越好。

　　【例題14：2010年單選】集中趨勢的測度值對一組數據的代表程度，取決于該組數據的離散水平。數據的離散程度越大，集中趨勢的測度值對該組數據的代表性( )。

　　A.越好

　　B.越差

　　C.始終不變

　　D.在一定區間內反復變化

　　【答案】B

　　離散程度的測度，主要包括極差、方差和標準差、離散系數等。

　　(一)極差

　　1、含義：極差是最簡單的變異指標。它就是總體或分布最大的標志值與最小的標志值之差，又稱全距，用R表示。

　　2、計算公式：

　　3、極差反映的是變量分布的變異范圍或離散幅度，在總體中任何兩個單位的標志值之差都不可能超過極差。極差計算簡單，含義直觀，運用方便。但它僅僅取決于兩個極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況，同時易受極端值的影響。

　　【例題15：2010年單選】根據下表所列我國1998年至2003年人口數及構成情況，1998年至2003年我國男性人口占年底總人口比重的極差是( )。

　　A.0.38%

　　B.0.25%

　　C.51.25%

　　D.51.63%

　　【答案】A

　　(二)標準差和方差

　　1、含義：方差：總體所有單位標志值與其平均數離差之平方的平均數。

　　標準差：方差的算術平方根，用 表示。

　　2、計算：

　　(1)未整理的原始數據

　　方差 =

　　標準差

　　(2)用于分組數據

　　方差=

　　標準差

　　標準差和方差是應用最廣泛的統計離散程度的測度方法。

　　(三)離散系數(標準差系數)

　　1、極差、標準差、方差都是反映數據分散程度的絕對值，其數值大小受到變量值水平高低和計量單位的影響。

　　2、為消除變量值水平高低和計量單位不同對離散程度測度值的影響，需要計算離散系數。

　　3、離散系數通常是就標準差來計算的，因此也稱標準差系數。它是一組數據的標準差與其相應的算術平均數之比，是測度數據離散程度的相對指標，用 表示。

　　4、離散系數主要是用于比較對不同組別數據的離散程度。離散系數大的說明數據的離散程度也就大，離散系數小的說明數據的離散程度也就小。

　　【例題16：2009年單選題】離散系數比標準差更適用于比較兩組數據的離散程度，這是因為離散系數 ( )。

　　A.不受極端值的影響

　　B.不受數據差異程度的影響

　　C.不受變量值水平或計量單位的影響

　　D.計算更簡單

　　【答案】C

　　【例題17：2011年單選題】下列離散程度的測度值中，能夠消除變量值水平和計量單位對測度值影響的是( )。

　　A.標準差

　　B.離散系數

　　C.方差

　　D.極差

　　【答案】B

　　【例題18：2008年單選題】標準差系數是一組數據的標準差與其相應的()之比。

　　A算數平均數

　　B極值

　　C眾數

　　D幾何平均數

　　【答案】A

　　【例題19：2004年單選題】某學校學生的平均年齡為20歲，標準差為3歲;該校教師的平均年齡為38歲，標準差為3 歲。比較該校學生年齡和教師年齡的離散程度，則(　)。

　　A.學生年齡和教師年齡的離散程度相同

　　B.教師年齡的離散程度大一些

　　C.教師年齡的離散程度是學生年齡離散程度的1.9倍

　　D.學生年齡的離散程度大一些

　　【答案】D

　　【解析】平均值不同的情況下，用離散系數比較離散程度。

　　學生年齡的離散系數=3/20*100%=15%

　　教師年齡的離散系數=3/38*100%=7.89%

　　離散系數大的說明數據的離散程度也就大，離散系數小的說明數據的離散程度也就小。

　　【例題20：2010年多選題】數值型數據離散程度的測度指標有( )。

　　A.中位數

　　B.幾何平均數

　　C.極差

　　D.標準差

　　E.方差

　　【答案】CDE

　　【本章主要考點總結】

　　1、集中趨勢的測度

　　(1)位置平均數：眾數、中位數(掌握含義、確定及適用范圍)

　　(2)數值平均數：算術平均數、幾何平均數(掌握影響因素、適用范圍)

　　2、離散程度的測度

　　(1)極差(計算)

　　(2)標準差和方差(掌握兩者之間的關系)

　　(3)離散系數(計算、適用范圍)