考點六：年金的計算（重點）
（一）有關年金的相關概念
1.年金的含義
年金，是指一定時期內每次等額收付的系列款項。具有兩個特點：一是金額相等；二是時間間隔相等。
2.年金的種類
年金包括：普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、遞延年金、永續年金等形式。
在年金中，系列等額收付的間隔期間只需要滿足“相等”的條件即可，間隔期間可以不是一年，例如每季末等額支付的債券利息也是年金。
【例題·判斷題】年金是指每隔一年，金額相等的一系列現金流入或流出量。（　）
『正確答案』×
『答案解析』在年金中，系列收付款項的時間間隔只要滿足“相等”的條件即可。間隔期間不一定是一年。注意如果本題改為“每隔一年，金額相等的一系列現金流入或流出量，是年金”則是正確的。即間隔期為一年，只是年金的一種情況。
【總結】
（1）這里的年金收付間隔的時間不一定是1年，可以是半年、一個季度或者一個月等。
（2）這里年金收付的起止時間可以是從任何時點開始，如一年的間隔期，不一定是從1月1日至12月31日，可以是從當年7月1日至次年6月30日。

【總結】
在年金的四種類型中，最基本的是普通年金，其他類型的年金都可以看成是普通年金的轉化形式。普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是從第一期開始發生等額收付，兩者的區別是普通年金發生在期末，而即付年金發生在期初。遞延年金和永續年金是派生出來的年金。遞延年金是從第二期或第二期以后才發生，而永續年金的收付期趨向于無窮大。
【小常識】諾貝爾獎是以瑞典著名化學家、硝化甘油炸藥發明人阿爾弗雷德·貝恩哈德·諾貝爾的部分遺產作為基金創立的。諾貝爾獎包括金質獎章、證書和獎金支票。在遺囑中他提出，將部分遺產（920萬美元）作為基金，以其利息分設物理、化學、生理或醫學、文學及和平（后添加了經濟獎）5個獎項，授予世界各國在這些領域對人類作出重大貢獻的學者。
【例題·單選題】（2010年）2007年1月1日，甲公司租用一層寫字樓作為辦公場所，租賃期限為3年，每年12月31日支付租金10萬元，共支付3年。該租金有年金的特點，屬于（　）。
A.普通年金　B.即付年金　C.遞延年金　D.永續年金
『正確答案』A
『答案解析』本題考核普通年金的特點。年末等額支付，屬于普通年金。
（二）年金的計算
1.普通年金的計算
普通年金的計算包括：普通年金終值與償債基金的計算；普通年金現值與年資本回收額。
（1）普通年金（后付年金）終值的計算（已知年金A，求終值F），年金終值系數＝（F／A，i，n）
普通年金的終值，是指在一定的時期內，在一定的利率下，每期期末等額的系列收付值的終值之和。
【例題·計算題】你每年年末存入銀行100元，連續3年，年利率10%，則在第三年末積累多少錢？
『正確答案』

【思考問題】小王是位熱心于公眾事業的人，自1995年12月底開始，他每年都要向一位失學兒童捐款。小王向這位失學兒童每年捐款1000元，幫助這位失學兒童從小學一年級讀完九年義務教育。假設每年定期存款利率都是2%，則小王9年的捐款在2003年底相當于多少錢？

推導公式過程：【等比數列的求和公式】
普通年金終值的計算（已知年金A，求終值F）
根據復利終值的方法計算年金終值的公式為:
F（終值）＝A（1＋i）0＋A（1＋i）1十A（1＋i）2＋A（1＋i）3＋……＋A（1＋i）n－1.. .（1）
將兩邊同時乘以（1＋i）得:
F（1＋i）＝A（1＋i）＋A（1＋1）2 ＋A（1＋i） 3 ＋A（1＋1）4＋……＋A（1＋i）n.......（2）
（2）－（1）得：
F×i＝A（1＋i）n － A＝A×[（1＋i） n －1]

【例題·單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行一筆固定金額的款項，若按復利制用最簡便算法計算第n年末可以從銀行取出的本利和，則應選用的時間價值系數是（　）。
A.復利終值數　B.復利現值系數
C.普通年金終值系數D.普通年金現值系數
『正確答案』C
『答案解析』因為本題中是每年年末存入銀行一筆固定金額的款項，所以符合普通年金的形式，因此計算第n年末可以從銀行取出的本利和，實際上就是計算普通年金的終值，所以答案選擇普通年金終值系數。
【例題·計算題】小王是位熱心于公眾事業的人，自1995年12月底開始，他每年都要向一位失學兒童捐款。小王向這位失學兒童每年捐款1000元，幫助這位失學兒童從小學一年級讀完九年義務教育。假設每年定期存款利率都是2%，則小王9年的捐款在2003年底相當于多少錢？
『正確答案』
分析：年金：1000元（每年末捐款1000元，金額相等；時間間隔相等）
已知年金A，求終值F
方法一：F＝A[（1＋i） n－1]／i
＝1000×[（1＋2%）9－1]／2%
＝9754.6（元）
方法二：
F（終值）＝A（年金）×（F／A，i，n）年金終值系數
F＝1000×（F／A，2%，9）＝1000×9.7546＝9754.6（元）
【例題·計算題】某人購房有兩套方案：（1）5年后付款120萬元；（2）從現在開始每年年末付款20萬元，連續5年，假定銀行存款利率是7%，應如何付款？
『正確答案』
方案（1）：終值（F）＝120萬元
方案（2）：終值（F）＝A（年金）×（F／A，i，n）年金終值系數
＝20×（F／A，7%，5）
＝20×5.7507＝115.014（萬元）
方案（1）終值（F）大于方案（2）終值（F），從購房人的角度看，應選擇方案（2）。
【例題·計算題】A礦業公司決定將其一處礦產開采權公開拍賣，因此它向世界各國煤炭企業招標開礦。已知甲公司和乙公司的投標書最具有競爭力，甲公司的投標書顯示，如果該公司取得開采權，從獲得開采權的第1年開始，每年年末向A公司交納10億美元的開采費，直到10年后開采結束。乙公司的投標書表示，該公司在取得開采權時，直接付給A公司40億美元，在8年后，再付給60億美元。如A公司要求的年投資回報率達到15%，問應接受哪個公司的投標?
『正確答案』
要回答上述問題，主要是要比較甲乙兩個公司給A的開采權收入的大小。但由于兩個公司支付開采權費用的時間不同，因此不能直接比較，而應比較這些支出在第10年終值的大小。
①甲公司的方案對A公司來說是一筆年末收款10億美元的10年年金，其終值計算如下：
分析：年金：10億美元（每年末，金額相等；時間間隔相等）
已知年金A，求終值F
F（終值）＝A（年金）×（F／A，i，n）年金終值系數
F＝10×（F/A，15%，10）＝10×20.304＝203.04（億美元）
②乙公司的方案對A公司來說是兩筆收款，分別計算其終值：
第1筆收款（40億美元）的終值
F（終值）＝40×（1＋15%）10 [注：（1＋i）n為復利終值系數，記作（F／P，i，n）]
F（終值）＝P（現值）×（1＋i）n
＝40×（F／P，15%，10）＝40×4.0456＝161.824（億美元）
第2筆收款（60億美元）的終值
F（終值）＝60×（1＋15%）2
＝60×（F／P，15%，2）
＝60×1.3225＝79.35（億美元）
終值合計161.824＋79.35＝241.174（億美元）
③因此，甲公司付出的款項終值小于乙公司付出的款項的終值，應接受乙公司的投標。
（2）償債基金的計算（即已知終值F，求年金A）
償債基金是指為了在約定的未來某一時點清償某筆債務或積聚一定數額的資金而必須分次等額形成的存款準備金。也就是為使年金終值達到既定金額的年金數額（即已知終值F，求年金A）。在普通年金終值公式中解出A，這個A就是償債基金。
已知：F＝A[（1＋i） n－1]／i，經過整理：

【總結】（1）償債基金和普通年金終值互為逆運算；
（2）償債基金系數和普通年金終值系數互為倒數。
【例題·計算題】某人擬在5年后準備10000元購買一臺平板電視機，從現在起每年末等額存入銀行一筆款項。假設銀行利率為10%，則每年需存入多少元？
『正確答案』
已知終值F,5年后支付10000元，求年金A:
根據公式A＝F×i/[（1＋i）n－1]
＝10000×10%/[（1＋10%）5－1]
＝10000×（A／F，10%，5）＝10000×0.1638＝1638（元）
＝10000×1/（F／A，10%，5）【注：普通年金終值系數的倒數】
＝10000×1/6.1051＝1638（元）
（3）普通年金現值（已知年金A，求普通年金現值P），年金現值系數”，記 （P／A，i，n）
普通年金現值，是指為在每期期末取得相等金額的款項，現在需要投入的金額。
根據復利現值的方法計算年金現值：
【例題·計算題】你需要在每年年末取出100元，連續3年，年利率10%，則你現在需要向銀行存入多少錢？
『正確答案』
你現在需要向銀行存入＝100×（1＋10%）－1＋100×（1＋10%）－2＋100×（1＋10%）－3＝248.68（元）
【思考問題】某投資項目于2000年初動工，設當年投產，從投產之日起每年可得收益40000元。按年利率6%計算，計算預期10年收益的現值。
根據復利現值的方法計算年金現值的公式為:

P＝ A（1＋i）－1＋A（1＋i） －2 ＋ A（1＋i） －3 ＋…A（1＋i） －n.............（1）
將兩邊同時乘以（1＋i）得：
P（1＋i）＝A＋A（1＋i） －1＋A（1＋i） －2 ＋……＋A（1＋i） –（n－1） .. ....（2）
（2）－（1）相減得:
P＝A×[1－（1＋i） –n]/i

【例題·計算題】現在存入一筆錢，準備在以后5年中每年末得到100元，假定利率為10%，現在應存入多少元？
『正確答案』
分析：（已知年金A，求普通年金現值P）
P（現值）＝A×（P／A，i，n） （已知年金A，求普通年金現值P，用年金現值系數）
P＝100×（P/A，10%，5）
＝100×3.791＝379.1（元）
【例題·計算題】某投資項目于2000年初動工，設當年投產，從投產之日起每年可得收益40000元。按年利率6%計算，計算預期10年收益的現值。
『正確答案』
已知年金A，求普通年金現值P
P（現值）＝A×（P／A，i，n） （已知年金A，求普通年金現值P，用年金現值系數）
P＝40000×（P/A，6%，10）
＝40000×7.3601＝294404（元）
【例題·計算題】錢小姐最近準備買房，看了好幾家開發商的售房方案，其中一個方案是A開發商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10萬元，然后分6年每年年末支付3萬元。錢小姐很想知道每年付3萬元相當于現在多少錢，好讓她與現在2000元/平方米的市場價格進行比較。（貸款利率為6%）
『正確答案』
已知年金A，求普通年金現值P
P（現值）＝A×（P／A，i，n） （已知年金A，求普通年金現值P，用年金現值系數）
P＝3×（P/A，6%，6）＝3×4.9173＝14.7519（萬元）
錢小姐付給A開發商的資金現值為：10＋14.7519＝24.7519（萬元）
如果直接按每平方米2000元購買，錢小姐只需要付出20萬元，可見分期付款對她不合算。
（4）年資本回收額的計算（已知普通年金現值P，求年金A）
年資本回收額，是指在約定年限內等額收回初始投入資本或清償所欠的債務。從計算的角度看，就是在普通年金現值公式中解出A，這個A，就是資本回收額。計算公式如下：

【例題·計算題】某企業借得1000萬元的貸款，在10年內以年利率12%等額償還，則每年應付的金額為多少？
『正確答案』
已知普通年金現值P，求年金A
A（年金）＝P（現值）×i / [1－（1＋i）－n]
＝1000×12%/[1－（1＋12%）－10]
＝1000×1/（P/A，12%，10）【注：年金現值系數的倒數】
＝1000×1/5.6502≈177（萬元）
【總結】（1）年資本回收額與普通年金現值互為逆運算；
（2）資本回收系數與普通年金現值系數互為倒數。
2.即付（先付）年金的計算
即付年金，是指每期期初等額收付的年金，又稱為先付年金。即付（先付）年金的計算包括：即付（先付）年金終值與即付（先付）年金現值的計算。
（1）即付年金（先付年金）終值的計算
即付年金的終值，是指把即付年金每個等額A都換算成第n期期末的數值，再來求和。
方法一：

從上面可以看出，n期即付（先付）年金與n期普通（后付）年金的付款次數相同，但是由于付款時間的不同，n期即付（先付）年金終值比n期普通（后付）年金終值多計算一期利息。所以，可先求出n期普通年金的終值，然后再乘以（1＋i）便可以求出n期即付年金終值。計算公式：
F（終值）＝A（F/A，i，n）（1＋i）
F（終值）＝A×年金終值系數×（1＋i）
方法二：可根據n期即付年金終值與n＋1期普通年金的終值的關系推導出另外一個公式。由于二者的計息期數相同，但n期即付（先付）年金比n＋1期普通（后付）年金少付一次款，因此，只要將n＋1期普通（后付）年金的終值減去一期付款額A，經過整理便可以求出n期先付年金終值。即付年金的終值系數和普通年金相比，期數加1，而系數減1。計算公式，即：
F（終值）＝A[（F/A，i，n＋1）－1]
F（終值）＝A× 年金終值系數，期數加1，而系數減1
【例題·計算題】某人每年年初存入銀行1000元，銀行存款利率8%，求第10年末的本利和（終值）？已知：（F/A，8%，10）＝14.487；（F/A，8%，11）＝16.645
『正確答案』
【方法一】
F（終值）＝A×年金的終值系數×（1＋i）[注：多計算一期利息]
F＝A（F/A，i，n）（1＋i）
F＝1000×（F/A，8%，10）×（1＋8%）
＝1000×14.487×（1＋8%）＝15 645（元）
【方法二】
F（終值）＝A× 年金的終值系數，期數加1，而系數減1
F（終值）＝A[（F/A，i，n＋1）－1]
＝1000×[（F/A，8%，11）－1]
＝1000×（16.645－1）
＝15 645（元）
【例題·計算題】為給兒子上大學準備資金，王先生連續6年于每年年初存入銀行3000元。若銀行存款利率為5%，則王先生在第6年末能一次取出本利和多少錢?
『正確答案』
【方法一】
F（終值）＝A×年金的終值系數×（1＋i）
F＝A（F/A，i，n）（1＋i）
F＝3000×（F/A，5%，6）×（1＋5%）＝21426（元）
【方法二】
F（終值）＝A× 年金終值系數，期數加1，而系數減1
F＝A[（F/A，i，n＋1）－1]
＝3000×[（F/A，5%，7）－1]
＝3000×（8.1420－1）
＝21426（元）
【例題·計算題】孫女士看到在鄰近的城市中，一種品牌的火鍋餐館生意很火爆。她也想在自己所在的縣城開一個火鍋餐館，于是找到業內人士進行咨詢。花了很多時間，她終于聯系到了火鍋餐館的中國總部，總部工作人員告訴她，如果她要加入火鍋餐館的經營隊伍，必須一次性支付50萬元，并按該火鍋品牌的經營模式和經營范圍營業。孫女士提出現在沒有這么多現金，可否分次支付，得到的答復是如果分次支付，必須從開業當年起，每年年初支付20萬元，付3年。3年中如果有一年沒有按期付款，則總部將停止專營權的授予。假設孫女士現在身無分文，需要到銀行貸款開業，而按照孫女士所在縣城有關扶持下崗職工創業投資的計劃，她可以獲得年利率為5%的貸款扶持。請問孫女士現在應該一次支付還是分次支付?
『正確答案』對孫女士來說，如果一次支付，則相當于付現值50萬元；而若分次支付，則相當于一個3年的即付年金，孫女士可以把這個即付年金折算為3年后的終值，再與50萬元的3年終值進行比較，以發現哪個方案更有利。
（1）如果分次支付，則其3年終值為：
F（終值）＝A×年金的終值系數×（1＋i）
F＝20×（F/A，5%，3）×（1＋5%）
＝20×3.1525×1.05
＝66.2025（萬元）
或者：F（終值）＝A× 年金的終值系數，期數加1，而系數減1
F＝20×[（F/A，5%，4）－1]
＝20×（4.3101－1）
＝66.202（萬元）
（2）如果一次支付，則其3年的終值為：
F（終值）＝P（現值）×復利終值系數
50×（F/P，5%，3）＝50×1.1576＝57.88（萬元）
相比之下，一次支付效果更好。
（2）即付年金現值的計算
【定義】即付年金現值，就是各期的年金分別求現值，然后累加起來。
方法一：

從圖可以看出，n期即付（先付）年金與n期普通（后付）年金的付款次數相同，但是由于付款時間的不同，在計算現值時，n期即付（先付）年金比n期普通（后付）年金少貼現一期。所以，可先求出n期普通（后付）年金的現值，然后再乘以（1＋i）便可以求出n期即付（先付）年金現值。計算公式：
P（現值）＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）
P（現值）＝A×年金現值系數×（1＋i）
方法二：可根據n期即付（先付）年金現值與n－1期普通（后付）年金的關系推導出另外一個公式。n期即付（先付）年金現值與n－1期普通（后付）年金現值貼現期數相同，但比n－1期普通（后付）年金多一期不用貼現的付款A，因此，只要將n－1期普通（后付）年金的現值加上一期不用貼現的付款A，經過整理便可以求出n期即付年金現值。即付年金現值系數與普通年金現值系數相比，期數減1，系數加1。
P（現值）＝A[（P/A，i，n－1）＋1]
P（現值）＝A×年金現值系數，期數減1，系數加1
【例題·計算題】A公司租賃一設備，在10年中每年年初支付租金5 000元，年利率為8%，求這些租金的現值？
『正確答案』
【方法一】
P（現值）＝A×年金現值系數×（1＋i）
P＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）
P＝5000×（P/A，8%，10）×（1＋8%）＝36234（元）
【方法二】
P（現值）＝A×年金現值系數，期數減1，系數加1
P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]
＝5000×[（P/A，8%，9）＋1]
＝5000×（6.247＋1）＝36234（元）
【例題·計算題】張先生采用分期付款方式購入商品房一套，每年年初付款15 000元，分10年付清。若銀行利率為6%，該項分期付款相當于一次現金支付的購買價是多少?
『正確答案』
【方法一】
P（現值）＝A×年金現值系數×（1＋i）
P＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）
P＝15000×（P/A，6%，10）×（1＋6%）＝117025.5（元）
【方法二】
P（現值）＝A×年金現值系數，期數減1，系數加1P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]
P＝A·[（P/A，i，n－1）＋1]
＝15000×[（P/A，6%，9）＋1]
＝15000×（6.8017＋1）＝117025.5（元）
【例題·計算題】李博士是國內某領域的知名專家，某日接到一家上市公司的邀請函，邀請他作為公司的技術顧問，指導開發新產品。邀請函的具體條件如下：
（1）每個月來公司指導工作一天；
（2）每年聘金10萬元；
（3）提供公司所在地A市住房一套，價值80萬元；
（4）在公司至少工作5年。
李博士對以上工作待遇很感興趣，對公司開發的新產品也很有研究，決定應聘。但他不想接受住房，因為每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，這樣住房沒有專人照顧，因此他向公司提出，能否將住房改為住房補貼。公司研究了李博士的請求，決定可以在今后5年里每年年初給李博士支付20萬元住房補貼。
收到公司的通知后，李博士又猶豫起來，因為如果向公司要住房，可以將其出售，扣除售價5%的契稅和手續費，他可以獲得76萬元，而若接受住房補貼，則每年年初可獲得20萬元。假設每年存款利率2%，則李博士應該如何選擇?
『正確答案』
要解決上述問題，主要是要比較李博士每年收到住房補貼20萬元的現值與售房76萬元的大小問題。由于房貼每年年初發放，因此對李博士來說是一個即付年金。其現值計算如下：
P（現值）＝A×年金現值系數，期數減1，系數加1
P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]
P＝20×[（P/A，2%，4）＋1]
＝20×[3.8077＋1]
＝20×4.8077
＝96.154（萬元）
從這一點來說，李博士應該接受住房補貼。
如果李博士本身是一個企業的業主，其資金的投資回報率為32%，則他應如何選擇呢？
『正確答案』
在投資回報率為32%的條件下，每年20萬的住房補貼現值為：
P＝20×[（P/A，32%，4）＋1]
＝20×[2.0957＋1]
＝20×3.0957
＝61.914（萬元）
在這種情況下，應接受住房補貼。

【提示】

【例題·多選題】下列各項中，其數值等于即付年金終值系數的有（　）。
A.（P/A，i，n）（1＋i）　B.{（P/A，i，n－1）＋1}
C.（F/A，i，n）（1＋i）　D.{（F/A，i，n＋1）－1}
『正確答案』CD
『答案解析』即付年金終值系數是在普通年金終值系數的基礎上，期數加1，系數減1，也等于普通年金終值系數再乘以（1＋i）。
3.遞延年金計算
遞延年金，是指第一次等額收付發生在第二期或第二期以后的年金。包括遞延年金終值和遞延年金現值計算
圖示如下：

（1）遞延年金終值計算
計算遞延年金終值和計算普通年金終值基本一樣，只是注意扣除遞延期即可。
F（終值）＝A（F/A，i，n）【年金終值系數】
式中，“n”表示A的個數，與遞延期沒有關系
【例題·計算題】某投資者擬購買一處房產，開發商提出了三個付款方案：
方案一：現在起15年內每年末支付10萬元；（分析：普通年金）
方案二：現在起15年內每年初支付9.5萬元；（分析：即付年金）
方案三：前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18萬元。（分析：遞延年金）
假設按銀行貸款利率10%復利計息，若采用終值方式比較，問哪一種付款方式對購買者有利？
『正確答案』終值點確定為15年末
方案一：普通年金
F（終值）＝A（F/A，i，n）（注：年金終值系數）
F＝1O×（F／A，10%，15）
＝10×31.772＝317.72（萬元）
方案二：即付年金
F（終值）＝A[（F/A，i，n＋1）－1] （注：年金終值系數，期數＋1，系數－1）
F＝9.5×[（F／A，10%，16）－1]
＝9.5×（35.950－1）
＝332.03（萬元）
方案三：遞延年金
F＝18×（F／A，10%，10）（注：前5年不支付，第六年起到15年）
＝18×15.937
＝286.87（萬元）
從上述計算可得出，采用第三種付款方案對購買者有利。
（2）遞延年金現值的計算
【方法一】
兩次折現，把遞延期以后的年金套用普通年金公式求現值，這是求出來的現值是第一個等額收付前一期期末的數值，距離遞延年金的現值點還有m期，再向前按照復利現值公式折現m期即可。

計算公式如下：
P（現值）＝A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
＝A×n期的年金現值系數×m期的復利現值系數
式中，m為遞延期，n為連續收支期數
【例題·計算題】某企業向銀行借入一筆款項，銀行貸款的年利率為10%，每年復利一次。銀行規定前6年不用還本付息，但從第7年至第10年每年年末償還本息50萬元。用該方法計算這筆款項的現值。
『正確答案』

關注：每年年末收付的遞延期數m＝7－1＝6
P（現值）＝A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
＝A×n期的年金現值系數×m期的復利現值系數
P＝A×（P／A，10%，4）×（P／F，10%，6）
＝50×3.170×0.564
＝ 89.394（萬元）
【方法二】把遞延期每期期末都當作有等額的收付A，把遞延期和以后各期看成是一個普通年金，計算出這個普通年金的現值，再把遞延期多算的年金現值減掉即可。

P＝A×[（P/A,i,m＋n）－（P/A,i,m）]
＝A×[m＋n期年金現值系數－m期年金現值系數]
【例題·計算題】某企業向銀行借入一筆款項，銀行貸款的年利率為10%，每年復利一次。銀行規定前6年不用還本付息，但從第7年至第10年每年年末償還本息50萬元。
用該方法計算這筆款項的現值。
『正確答案』

P＝A×[（P/A,i,m＋n）－（P/A,i,m）]
＝ A×[m＋n期年金現值系數－m期年金現值系數]
P＝A×（P／A，10%，10）－A×（P／A，10%，6）
＝ 50×[（P／A，10%，10）－（P／A，10%，6）]
＝50×（6.145－4.355）
＝89.5（萬元）
【方法三】先求遞延年金終值，再折現為現值。
P＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
＝A×[n期年金終值系數×m＋n期復利現值系數]
【例題·計算題】某企業向銀行借入一筆款項，銀行貸款的年利率為10%，每年復利一次。銀行規定前6年不用還本付息，但從第7年至第10年每年年末償還本息50萬元。
用該方法計算這筆款項的現值。
『正確答案』

P＝A×[n期年金終值系數×m＋n期復利現值系數]
P＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
P＝50×（F/A，10%，4）×（P/F，10%，10）
＝50×4.641×0.386
＝89.5713
【例題·計算題】某企業向銀行借入一筆款項，銀行貸款的年利率為10%，每年復利一次。銀行規定前10年不用還本付息，但從第11年至第20年每年年末償還本息5000元。
【要求】用3種方法計算這筆款項的現值。
『正確答案』

方法一：
P＝A×n期的年金現值系數×m期的復利現值系數
P＝A×（P／A，10%，10）×（P／F，10%，10）
＝5000×6.145×0.386
＝11860（元）
方法二：
P＝A×[m＋n期年金現值系數－m期年金現值系數]
P＝A×[（P／A，10%，20）－（P／A，10%，10）]
＝5000×（8.514－6.145）
＝11845（元）
兩種計算方法相差15元，是因小數點的尾數造成的。
方法三：
A×[n期年金終值系數×m＋n期復利現值系數]
P＝A×[（F／A，10%，10）×（P／F，10%，20）]
＝5000×15.937×0.1486
＝11841
【思考問題】
某人從第七年年末支付款項，則遞延期數＝？遞延期數＝7－1＝6
某人從第七年年初支付款項，則遞延期數＝？遞延期數＝7－2＝5
【例題·計算題】A公司擬購置一房地產，付款條件為：從第七年開始，每年年初支付10萬元，連續支付10年，合計100萬元該公司資金成本率為10%，則相當于該公司現在一次付款的金額為多少萬元？
『正確答案』
遞延期數＝7－2＝5
方法一：
P＝A×n期的年金現值系數×m期的復利現值系數
P＝A×（P／A，10%，10）×（P／F，10%，5）
＝10×6.1446×0.6209
＝38.152（萬元）
方法二：
P＝A×[m＋n期年金現值系數－m期年金現值系數]
P＝A×[（P／A，10%，15）－（P／A，10%，5）]
＝10×（7.6061－3.7908）
＝38.153（萬元）
兩種計算方法相差10元，是因小數點的尾數造成的。
方法三：
A×[n期年金終值系數×m＋n期復利現值系數]
P＝A×[（F／A，10%，10）×（P／F，10%，15）]
＝10×15.9374×0.2394
＝38.154（萬元）
【例題·計算題】某公司擬購置一處房產，房主提出三種付款方案：
（1）從現在起，每年年初支付20萬，連續支付10次，共200萬元；
（2）從第5年開始，每年末支付25萬元，連續支付10次，共250萬元；
（3）從第5年開始，每年初支付24萬元，連續支付10次，共240萬元。
假設該公司的資金成本率（即最低報酬率）為10%，你認為該公司應選擇哪個方案？
『正確答案』首先確定時間點，折算到一個時點，
方案（1）從現在起，每年年初支付20萬，連續支付10次，共200萬元；屬于即付年金。即付年金現值的計算。

【例題·單選題】（2011年考題）某公司2010年1月1日投資建設一條生產線，建設期3年，經營期8年，建成后每年凈現金流量均為500萬元。該生產線凈現金流量的年金形式是（　）。
A.普通年金　B.即付年金
C.遞延年金　D.永續年金
『正確答案』C
『答案解析』建設期的三年里不產生現金流量，以后每年等額產生500萬元的現金流量，該現金流量形式屬于遞延年金。
4.永續年金
永續年金，是指無限期等額收付的年金。
永續年金因為沒有終止期，所以只有現值沒有終值。
永續年金的現值，可以通過普通年金的計算公式導出。在普通年金的現值公式中，令n趨于無窮大，即可得出永續年金現值：P＝A/i

已知：P（現值）＝A×[1－（1＋i） –n]/i
當n趨向無窮大時，由于A和i都有界量，（1＋i）－n趨向無窮小。因此當n趨向無窮大時，P＝A/i
【例題·單選題】下列各項年金中，只有現值沒有終值的年金是（　）。
A.普通年金　B.即付年金
C.永續年金　D.先付年金
『正確答案』C
【例題·計算題】歸國華僑吳先生想支持家鄉建設，特地在祖籍所在縣設立獎學金。獎學金每年發放一次，獎勵每年高考的文理科狀元各10 000元。獎學金的基金保存在中國銀行該縣支行。銀行一年的定期存款利率為2%。問吳先生要投資多少錢作為獎勵基金？
『正確答案』由于每年都要拿出20 000元，因此獎學金的性質是一項永續年金，其現值應為20 000／2%＝1 000 000（元）
也就是說，吳先生要存入1 000 000元作為基金，才能保證這一獎學金的成功運行。
【例題·多選題】在下列各項中，可以直接或間接利用普通年金終值系數計算出確切結果的項目有（　）。
A.償債基金　B.先付年金終值
C.永續年金現值　D.永續年金終值
『正確答案』AB
『答案解析』償債基金＝年金終值×償債基金系數＝年金終值/年金終值系數，所以A正確；先付年金終值＝普通年金終值×（1＋i）＝年金×普通年金終值系數×（1＋i），所以B正確。選項C的計算與普通年金終值系數無關，永續年金不存在終值。

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