考點七：利率的計算
前面講過已知終值、期數、利率，求現值；已知現值、期數、利率，求終值；已知年金、期數、利率，求年金現值或年金終值。
（一）復利計息方式下利率的計算
1.永續年金
對于永續年金來說，可以直接根據公式來求。永續年金因為沒有終止期，所以只有現值沒有終值。
已知：P＝A/i；所以：i＝A/P
i=A/P
(永續年金/永續年金現值)
【例題·計算題】吳先生存入1 000 000元，獎勵每年高考的文理科狀元各10 000元，獎學金每年發放一次。問銀行存款年利率為多少時才可以設定成永久性獎勵基金?
『正確答案』i＝20 000/1 000 000＝2%
『答案解析』由于每年都要拿出20 000元，因此獎學金的性質是一項永續年金，其現值應為1 000 000元，因此：也就是說，利率不低于2%才能保證獎學金制度的正常運行。
2.其他情況（插值法的運用）
在除永續年金外的其他情況下，計算利率時，首先要找出已知的條件相對應的時間價值系數，比如復利終值（現值）系數，或者年金終值（現值）系數，然后查時間價值系數表。
如果表中有這個系數，則對應的利率即為要求的利率。如果沒有，則查出最接近的一大一小兩個系數，采用插值法求出。
（1）若已知復利現值（或者終值）系數以及期數n，可以查“復利現值（或者終值）系數表”，找出與已知復利現值（或者終值）系數最接近的兩個系數及其對應的利率，按內插法公式計算利率。
【例題·計算題】鄭先生下崗獲得50 000元現金補助，他決定趁現在還有勞動能力，先找工作糊口，將款項存起來。鄭先生預計，如果20年后這筆款項連本帶利達到250 000元，那就可以解決自己的養老問題。問銀行存款的年利率為多少，鄭先生的預計才能變成現實?
『正確答案』如果20年后這筆款項連本帶利達到250 000元，即為終值；復利終值系數表
F（終值）＝P（現值）× （F／P，i，n）
250 000＝50 000×（F／P，i，20）
（F／P，i，20）＝5，即（1+i）20
查復利終值系數表并用內插法求解。查表找出期數為20，復利終值系數最接近5的一大一小兩個系數。
復利終值系數表（F/P，i，n）
1%――8%　9%　10%
1期1.010　―1.0801.0901.100
2期1.020　－1.1661.1881.21
－　－－－－　－
20期　 1.220　－4.6615.6046.727
（F/P,8%,20）＝4.661；（F/P,9%,20）＝5.604
因此，i在8%和9%之間。運用內插法有:

說明如果銀行存款的年利率為8.359%，則鄭先生的預計可以變成現實。
注意問題：
（1）原理是相似三角形的性質，對應邊成比例的兩個三角形是相似三角形，即相似三角形對應邊之比相等。
（2）注意：左邊短差比長差＝右邊短差比長差
（3）（F/P,8%,20）＝4.661與（F/P,9%,20）＝5.604先后順序沒有關系。
【例題·計算題】張先生要在一個街道十字路口開辦一個餐館，于是找到十字路口的一家小賣部，提出要求承租該小賣部3年。小賣部的業主徐先生因小賣部受到附近超市的影響，生意清淡，也愿意清盤讓張先生開餐館，但提出應一次支付3年的使用費30 000元。張先生覺得現在一次拿30 000元比較困難，因此請求能否緩期支付。徐先生同意3年后支付，但金額為50 000元。若銀行的貸款利率為5%，問張先生3年后付款是否合算？
『正確答案』先算出張先生3年后付款和現在付款金額之間的利息率，再同銀行利率比較，若高于貸款利率，則應貸款然后現在支付，而若低于貸款利率則應3年后支付。如果3年后這筆款項連本帶利達到50 000元，即為終值；復利終值系數表
F（終值）＝P（現值）× （F／P，i，n）　
50000＝30000×（F／P，i，3）
（F／P，i，3）＝1.6667
查復利終值系數表并用內插法求解。查表找出期數為3，復利終值系數最接近1.6667的一大一小兩個系數。（F/P,18%,3）＝1.6430；（F/P,19%,3）＝1.6852
因此，i在18%和19%之間。運用內插法有:

因此i在18%和19%之間，用內插法可求得i＝18.55%（18.56%）
從以上計算可看出，徐先生目前的使用費3萬元延期到3年后支付則需要5萬元，相當于年利率18.55%，遠比銀行貸款利率高，因此張先生3年后支付這筆款項并不合算。
【拓展】復利現值系數表？
P（現值）＝ F（終值）× （P／F，i，n）
30000＝50000×（P／F，i，3）
（P／F，i，3）＝0.6
查復利現值系數表并用內插法求解。查表找出期數為3，復利終值系數最接近0.6的一大一小兩個系數。（P / F,18%,3）＝0.6086；（P / F,19%,3）＝0.5934

（2）若已知年金現值（或者終值系數）以及期數n，可以查“年金現值（或者終值）系數表”，找出與已知年金現值（或者終值）系數最接近的兩個系數及其對應的利率，按內插法公式計算利率。
【例題·計算題】假定在上例中，徐先生要求張先生不是3年后一次支付，而是3年每年年末支付12 000元，那么張先生是現在一次付清還是分3次付清更為合算?
『正確答案』要回答這個問題，關鍵是比較分次付款的隱含利率和銀行貸款利率的大小。每年年末支付12 000元分次付款，對張先生來說就是一項普通年金，設其利率為i，則有：年金現值系數
P＝A×（P／A，i，n）
30 000＝12 000×（P／A，i，3）
（P／A，i，3）＝2.5
查年金現值系數表并用內插法求解。查表找出期數為3，年金現值系數最接近2.5的一大一小兩個系數。
（P/A,9%,3）＝2.5313；（P/A,10%,3）＝2.4869
因此，i在9%和10%之間。運用內插法有:

因此i在9%和10%之間，用內插法可求得i＝9.705%
如果分3次付清，3年支付款項的利率相當于9.705%，因此更合算的方式是張先生按5%的利率貸款，現在一次付清。
【例題·計算題】某公司第一年年初借款20 000元，每年年末還本付息額均為4000元，連續9年付清。問借款利率為多少？
『正確答案』根據題意，已知P＝20 000，A＝4 000，n＝9，則，
P＝A×（P／A，i，n）
20 000＝4 000×（P／A，i，9）
（P／A，i，9）＝5
查年金現值系數表并用內插法求解。查表找出期數為9，年金現值系數最接近2的一大一小兩個系數。
（P/A,12%,9）＝5.3282
（P/A,14%,9）＝4.9464
因此，i在12%和14%之間。[假定13%的年金現值系數無法得到的情況下]
運用內插法有:

因此i在12%和14%之間，用內插法可求得i＝13.72%
（二）名義利率與實際利率
如果以“年”作為基本計息期，每年計算一次復利，這種情況下的年利率是名義利率。如果按照短于一年的計息期計算復利，并將全年利息額除以年初的本金，此時得到的利率是實際利率。名義利率與實際利率的換算關系如下：
i=(1+r／m)m-1
式中，i為實際利率，r為名義利率，m為每年復利計息次數。
【例題·計算題】假設甲公司和乙公司發行債券，面值為1 000元，票面利率8%和6%（名義利率），甲公司發行債券每年付息一次（每年復利次數1）；乙公司發行債券每半年付息一次（每年復利次數2）。現有兩家公司發行債券，其他情況如下：

【例題·計算題】假定年利率為12%，按季復利計息，試求實際利率？
『正確答案』按季復利計息，m為每年復利計息次數4，名義利率為12%：
i＝（1＋r/m）m－1＝（1＋12%/4）4－1＝1.1255－1＝12.55%
【例題·計算題】某企業于年初存入10萬元，在年利率10%、每半年復利計息一次的情況下，到第10年末，該企業能得到的本利和（復利終值）是多少?
『正確答案』
【方法一】按照實際利率計算
根據名義利率與實際利率的換算公式i＝（1＋r/m）m－1，本題中r＝10%，m＝2，有：
i＝（1＋10%/2）2－1＝10.25%
F＝10×（1＋10.25%）10＝26.53（萬元）（無法查系數表）
【方法二】調整期數和利率
將r/m作為計息期利率，將m×n作為計息期數進行計算。
F＝P×（1＋r/m）m×n＝10×（1＋10%/2）20＝26.53（萬元）（可以查復利終值系數表）
＝10×（F/P,5%,20）＝26.53（萬元）
【總結】計算性內容總結

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