本題考查統計的相關知識。

用統計方法解決實際問題-般有如下幾個步驟。

①建立數學模型。分析實際問題，由實際問題抽象出相應的數學模型。

②收集數據。根據實際問題設計簡單的調查表，或選擇其他適當方法(調查、試驗、測量)收集數據。其中，在收集數據的過程中，可以全面觀測所有總體并得到數據，這-過程稱為普查；選取適當抽樣方法從總體數據中抽取部分樣本進行觀測并得到數據的過程叫作抽樣調查。

③整理數據。對收集到的數據進行審核、校正、整理，從而使之系統化、條理化，并用文字、圖畫、表格等方式表示數據。其中，可運用條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖等直觀地表示數據。

④分析數據。運用平均數、中位數、眾數等數字特征，對樣本數據進行分析，并進-步估計出總體的數字特征。

⑤解釋數據。結合總體數字特征，對數據進行解讀。

⑥得出實際問題的相關結論。

數學學習評價的形式多樣，主要有口頭測驗、書面測驗、開放式問題研究、活動報告、課堂觀察、課后訪談、課內外作業、建立成長記錄袋等。下面列舉幾種不同的評價方式進行闡述。①口頭測驗，是指在教學過程中教師通過與學生之間的言語互動，及時地了解學生的數學學習情況，找出問題并及時糾正。

②書面測驗，是指教師對學生的作業或者其他測驗報告所做的書面性的評價。這種評價方式可以幫助教師了解學生的數學學習狀態以及知識掌握水平。

③書面評語評價，教師對學生的作業或者其他活動報告所做的書面性的評價。評價形式不僅僅是分數或者等級，評語-般應是鼓勵為主，用以幫助學生認識與解決問題。

④課后訪談，是指教師通過課后與學生的溝通交流了解學生數學學習情況的-種評價方式。這種評價方式可以幫助教師更直接地了解到學生的數學學習情況。

⑤建立成長記錄袋，是指將學生數學學習過程進行有效記錄而形成的書面存檔。這種評價方式既可以幫助教師隨時了解學生數學學習的成長經歷，也可以有效地幫助學生確立今后的學習目標與方向。

函數是中學數學課程的主線，它貫穿于整個中學數學課程中，方程、不等式、數列等內容均與函數有非常密切的聯系。

①函數與方程。中學數學課程中-元二次方程的求解問題，可以轉化成求對應函數的零點問題。例如，求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數根，可以轉化為求函數Y=O,x2+bx+c與x軸交點的橫坐標的值，即求函數的零點問題。由此可以看出，方程可看作函數的局部性質，求方程的根就變成了思考函數圖形與x軸的交點問題。利用函數的整體性質可以研究方程的根的性質，判斷根的個數，并估計根所在的區間。

②函數與不等式。用函數的觀點看，不等式就是確定使函數Y=f(x)圖像在x軸上方或下方的x的區域。中學數學課程中的-元二次不等式的求解問題，可以借助二次函數的圖像找到不等式的解集。例如，求不等式x2—3x+2>0的解集，可以通過畫出函數f(x)=x2-3x+2的圖像找到使函數值大于0的所有x組成的集合，而這個集合就是該不等式的解集。

③函數與數列。數列是-種特殊的函數，它的定義域為自然數集或自然數子集。數列是離散的函數，表現在坐標系中是-些離散的點的集合。中學數學課程主要涉及等差數列和等比數列，等差數列的通項公式是-次函數的離散化，等差數列的前n項和公式是二次函數的離散化，等比數列的通項公式以及前n項和公式都是指數函數的離散化，因此可以借助函數的性質來研究數列。例如，求等差數列的前n項和Sn=n2—4n在第幾項取得最小值，可以將其轉化為求函數f(x)=x2--4x的頂點橫坐標問題，根據函數的頂點坐標公式可知，當x=2時，函數．f(x)取得最小值，即Sn在第2項取得最小值。總之，在方程、不等式、數列等內容中，可以用函數思想思考、解決問題，用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。

  (1)甲教師的教學在落實課標這-理念的過程中缺乏對實際情況的應急應變，并且其為引導學生思考而設置的問題目的性不強。在教學過程中，甲教師組織學生進行小組討論，這體現了教師的組織者角色，但在學生討論例題的過程中，甲教師沒有設置鋪墊問題，也沒有做進-步的引導，所以甲教師在身為組織者和引導者方面存在不足。此外，當學生討論的結論與自己預設的不同時，甲教師雖然意識到學生進入了思維誤區并及時中止了學生的思考，但是其中止之后并沒有設計教學問題以引導學生走出思維誤區，只是-味地批評學生的錯誤思路，從而導致第二次終止討論，所以甲教師在身為合作者和引導者方面存在不足。乙教師的教學在落實課標這-理念的過程中雖然其引導者的作用得到了充分的體現，但是學生主體地位的體現有些缺失，教師的合作者以及組織者的角色落實不到位。在教學過程中，乙教師能夠引導學生對問題進行分析，進而帶領學生突破知識的難點，這體現了乙教師的引導者角色，但乙教師的講解過于詳細，從而限制了學生的思維，所以沒有很好地體現以學生為主體的課標要求。此外，在學生討論的過程中，乙教師既沒有做好明確的分組，也沒有進行巡視指導并參與到學生的討論中去，所以乙教師在身為組織者與合作者方面存在不足。

(2)甲教師存在的問題：①討論的問題對于學生有-定的難度，需要教師給予-定的引導或問題鋪墊，如對最短路線的探討，何為最短路線，螞蟻爬過的路徑如何進行計算，等等。②在學生探究之初僅僅因為與教學預設不符就開始質疑學生，中止討論，并且當發現學生錯誤太多時終止思考，這些行為都反映出該教師對于課堂的-些突發情況缺乏應急應變能力。③該教師既沒有讓學生在討論探索中去發現問題，也沒有做到充分的引導，因此沒有真正落實課標提出的以學生為主體的要求，造成了“偽探究”的現象。④該教師在教學過程中的措辭不當，如“畫圖有什么用”等。這顯得教師不夠尊重學生，沒有平等地對待學生。而在探究學習過程中，教師要成為學生活動的參與者，與學生-起體會曲折的學習過程，感受學習中遇到的失敗和成功。乙教師存在的問題：乙教師在教學過程中的引導過多，從而導致學生被動地接受結果，失去了學生探究的真正意義，沒有讓學生的思維得到充分的發展。

兩位教師的教學活動雖然設置的是探究活動，但都忽略了探究活動是為了發展學生的綜合應用的能力。兩位教師都只注重知識結果的呈現，而忽視了數學方法的呈現，學生在活動中的體驗，對學生學情的思考以及學生思維的發展并沒有積極效果。

(3)組織數學探究活動，需要注意以下事項。

①探究活動內容的選擇要合理。要使探究活動更有效，需要發現和提出有意義的數學問題，同時探究內容要有激發性，也就是說，探究的問題能激發學生的探究欲望，問題的設置要在學生的“最近發展區”。②探究活動的指導要合理。在探究活動中，教師要扮演好組織者、引導者、合作者的角色。首先要給學生創設探究的情境，其次要保證學生有探究的時間，再次探究活動并不是讓學生毫無節制的大談論，而是精心編制的教學活動，所以教師不能孤立于學生之外，要及時進行指導，并對學生的探究結果做出合理的評價。

③在探究活動中，正確處理教師的“引”和學生的“探”的關系。在探究過程中，學生作為探究的主體，需要通過自己的探究去發現新事物。教師作為引導者要發揮指向燈的作用，既要在學生脫離主題的時候，適時地引導方向，又不能過分地牽制學生的思想，造成“偽探究”的現象，還要注重全體參與，讓每個學生體驗成功的樂趣。

(1)例1的教學目標

知識與技能目標：掌握必需的獨立探究和發現問題的能力。

過程與方法目標：通過計算并觀察結果與乘數的關系從中發現規律，提升自主學習能力、獨立思考能力、發現問題和分析問題的能力。情感態度與價值觀目標：在探索學習的過程中，感受該乘法運算中的有趣規律，發展學習數學的興趣，樹立學習數學的信心。

例2的教學目標

知識與技能目標：初步了解證明方法，掌握公式證明的思維過程，學會通過-般性的證明來驗證自己發現的規律。過程與方法目標：通過從數值運算到符號公式表達的過程，感受數學證明中從特殊到-般的過程，從而形成數學思維，并養成提出問題、分析問題和解決問題的能力。情感態度與價值觀目標：在證明規律的過程中，感悟數學的嚴謹性，增加學習數學的興趣。

(2)教學過程

活動-：教師讓學生觀察并討論例1得出的運算規律，之后教師將其板書展示。

師：觀察黑板上的運算規律，15，25，95可以拆分成什么式子來袁示呢?

(預設)生：l5=1×10+5；25=2×10+5；95=9×10+5。(教師板書)

師：我們由此可以發現什么規律?

(預設)生：因數等于因數十位上的數字乘10加5。

師：在上述式子中，我們可以發現哪些數字是變化的，哪些又是不變的?

(預設)生：l，2，9是變化的；10和5是不變的。

師：我們知道變量可以用字母表示，如果用字母。來代表1，2，9，上述式子中的l5，25，95可以表示成什么?(學生討論)

(預設)生：a×l0+5(a=1，2，9)。

活動二：教師讓學生分析例l發現的規律(15×15=1×2×100+25：25×25=2×3×100+25：95×95=9×10×100+25)，并讓其試著運用字母a進行表示。

預設學生回答：(a×l0+5)2=a(a+1)×100+25(a=1，2，9)。

師：假設a代表小于10的任意正整數，那么例l中乘法運算就可以-般化為-個公式，即(a×l0+5)2=a(a+1)×100+25(a=1，2，…，9)。

師：這個公式就是我們通過分析例1的運算規律所得出的猜想。

(3)教學過程

活動-：教師讓學生自主思考公式(a×l0+5)2=a(n+1)×100+25的正確性，討論并驗證猜想正確性的證明方法。

師：觀察等號左邊，我們可以發現什么?

(預設)生：等號左邊是-個完全平方式。

活動二：教師帶領學生回顧完全平方公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2。

師：運用完全平方公式，可以知道(a×l0+5)2等于什么?

(預設)生：(a×l0+5)2=a2×100+2a×l0×5+25。

師：進-步運算可以得到什么?

(預設)生：a2×100+2a×lo×5+25=a2×100+a×l00+25=a(a+1)×100+25(a=1，2，…，9)。

師：我們可以看到，運算的最終結果是等號兩邊的式子相等，即公式得證。

(4)教學過程

師：繼續觀察例1中的算式，還能有什么發現呢?請觀察每個式子中的兩個因數。

預設：學生發現每個式子中的兩個因數都是-樣的，而且個位上的數字之和為l0。

師：大家計算下面幾個式子，看看能發現什么規律。

38×32，43×47，81 ×89。

師：這些式子中的因數有什么特點嗎?

教師引導學生直到學生能夠答出：這些式子中的兩個因數十位上的數相同，個位上的數相加等于10。

師：這三個式子的計算結果分別是38×32=1216，43×47=2021，81×89=7209，結合我們剛才得到的結論，能發現什么規律呢?

引導學生直到學生能夠答出：計算結果中的后兩位數是兩個因數的個位上的數的乘積，前兩位數是因數的十位上的數加-乘十位上的數本身。

師．結合例1申的計算過程．請大家補全下列算式。(板書展示)

預設：經過剛才的教學，學生能夠順利補全上述算式。

師：我們用代數式怎么表示這個算式呢?

引導學生直到學生能夠答出：可以用10a+b表示其中-個因數，用10a+(10-b)表示另-個因數，并通過觀察得出猜想：

(10a+b)[10a+(10-b)]=a(a+1)×100+b(10-b)。

師：這里的a是正整數，大家知道b要取什么數嗎?

引導學生直到學生能夠答出：小于10的正整數。

師：下面請大家用我們剛才學過的知識證明-下這個算式。

預設：教師觀察學生的計算過程，并找兩位學生在黑板上板演，結合學生的板演進行講解，以深化大家的理解。

  板演過程：

(10a+b)[10a+(10-b)]

=l0a2+l0a(10-b)+l0ab+b(10-b)

=100a2+100a—l0ab+l0ab+b(10-b)

=a(a+1)×l00+b(10-b)

【練習】口算下列算式：

①17×13；(②)24×26；(③)33×37；④45×45；(⑤)51×59。

師(小結)：通過這節課的學習，我們以快速口算出兩個因數十位上的數相同，個位上的數相加等于10的算式。在學習的過程中，我們先通過-些算式找出規律，并根據這些規律歸納猜想出對應的公式，最后經過嚴格的證明驗證我們的猜想，我們稱這-過程所貫穿的思維方法為歸納推理。