E[G]=E[max(ST-L，O)]
其中，E[G]—看漲期權到期期望值
ST—到期所交易金融資產的市場價值
L—期權交割(實施)價
到期有兩種可能情況:
1、如果ST>L，則期權實施以進帳(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L
2、如果ST<L，則期權所有人放棄購買權力，期權以出帳(Out-of-the-money)失效，且有:
max(ST-L，O)=0
從而: www.Ｅxamda.CoM考試就到考試大
E[CT]=P×(E[ST|ST>L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)
其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值將E[G]按有效期無風險連續復利rT貼現，得期權初始合理價格:
C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)這樣期權定價轉化為確定P和E[ST|ST>L]。
首先，對收益進行定義。與利率一致，收益為金融資產期權交割日市場價格(ST)與現價(S)比值的對數值，即收益=1NSTS。由假設1收益服從對數正態分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以證明，相對價格期望值大于EμT，為:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT從而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT
其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正態分布有性質:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正態分布隨機變量χ—關鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標準差所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由對稱性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因為E[ST|ST]>L]處于正態分布的L到∞范圍，所以，
E[ST|ST]>=S•EγT•N(D1)N(D2) 考試大論壇
其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT
最后，將P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定價模型:C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)
(二)B-S模型應用實例
假設市場上某股票現價S為 164，無風險連續復利利率γ是0.0521，市場方差σ2為0.0841，那么實施價格L是165，有效期T為0.0959的期權初始合理價格計算步驟如下:
①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328
②求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570
③查標準正態分布函數表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761 www.Ｅxamda.CoM考試就到考試大
④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理論上該期權的合理價格是5.803。如果該期權市場實際價格是5.75，那么這意味著該期權有所低估。在沒有交易成本的條件下，購買該看漲期權有利可圖。
(三)看跌期權定價公式的推導
B-S模型是看漲期權的定價公式，根據售出—購進平價理論(Put-callparity)可以推導出有效期權的定價模型，由售出—購進平價理論，購買某股票和該股票看跌期權的組合與購買該股票同等條件下的看漲期權和以期權交割價為面值的無風險折扣發行債券具有同等價值，以公式表示為:
S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T
移項得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，將B-S模型代入整理得:P=L•E-γT•[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即為看跌期權初始價格定價模型。
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