第二節 資金時間價值

　　考點一、資金時間價值的含義

　　資金時間價值，是指一定量資金在不同時點上的價值量差額。

　　通常情況下，它相當于沒有風險也沒有通貨膨脹情況下的社會平均利潤率，是利潤平均化規律發生作用的結果。

　　利率=純粹利率+通貨膨脹補償率+風險收益率

　　考點二、現值和終值的計算

　　終值又稱將來值，是現在一定量的資金折算到未來某一時點所對應的金額，通常記作F。

　　現值是指未來某一時點上的一定量資金折算到現在所對應的金額，通常記作P。

　　現值和終值是一定量資金在前后兩個不同時點上對應的價值，其差額即為資金的時間價值。

　　(一)單利的現值和終值

　　1．單利終值

　　【例題】某人將100元存入銀行，年利率2％，求5年后的終值。

　　=1OO+1OO×2％×5 =1OO×（1+5×2％）=110（元）

　　F＝P×（1＋i×n）

　　2.單利現值

　　P＝F/（1＋i×n）

　　【例題】某人為了5年后能從銀行取出500元，在年利率2％的情況下，目前應存入銀行的金額是多少？

　　P=F／（1+n×i）=500／（1+5×2％）≈454.55（元）

　　結論：

　　(1)單利的終值和單利的現值互為逆運算，

　　(2)單利終值系數(1+ n×i )和單利現值系數1／(1+ n×i)互為倒數。

　　(二)復利的現值和終值

　　復利計算方法是指每經過一個計息期，要將該期所派生的利息加入本金再計算利息，逐期滾動計算，俗稱“利滾利”。這里所說的計息期，是指相鄰兩次計息的間隔，如年、月、日等。除非特別說明，計息期一般為一年。

　　1.復利終值

　　【例題】某人將100元存入銀行，復利年利率2％，求5年后的終值。

　　F＝P（1+1） n =100×（1+2％）5=110.4（元）

　　F=P（1+i） n

　　式中，（1+1）n為復利終值系數，記作（F／P，i，n），n為計息期。

　　2.復利現值

　　P=F／（1+i）n

　　式中，1／（1+i）n為復利現值系數，記作（P／F，i，n）；n為計息期。

　　【例題】某人為了5年后能從銀行取出100元，在復利年利率2％的情況下，求當前應存入金額。

　　P=F／（1+i）n =100／（1+2％）5＝90.57（元）

　　結論：

　　(1)復利終值和復利現值互為逆運算；

　　(2)復利終值系數和復利現值系數互為倒數。

　　(三)年金終值和年金現值的計算

　　年金：等期等額收付款項。如交保險、季交房租；

　　包括普通年金(后付年金)、即付年金(先付年金)、遞延年金、永續年金等形式。

　　普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是從第一期開始發生等額收付，兩者的區別是普通年金發生在期末，而朗付年金發生在期初。

　　遞延年金和永續年金是派生出來的年金。遞延年金是從第二期或第二期以后才發生，而永續年金的收付期趨向于無窮大。

　　1．普通年金終值的計算(已知年金A，求終值F)

　　圖示：年末存入10000元，利率10%，5年后的本利和。

　　F=A× =A×(F/A,i,n)=A×普通年金現值系數

　　【例題】小王是位熱心于公眾事業的人，自1995年12月底開始，他每年都要向一位失學兒童捐款。小王向這位失學兒童每年捐款1000元，幫助這位失學兒童從小學一年級讀完九年義務教育。假設每年定期存款利率都是2％，則小王9年的捐款在2003年底相當于多少錢？

　　F=1000×（F／A，2％，9）=1000×9.7546=9754.6（元）

　　【例題】A礦業公司決定將其一處礦產開采權公開拍賣，因此它向世界各國煤炭企業招標開礦。已知甲公司和乙公司的投標書最具有競爭力，甲公司的投標書顯示，如果該公司取得開采權，從獲得開采權的第1年開始，每年末向A公司交納10億美元的開采費，直到10年后開采結束。乙公司的投標書表示，該公司在取得開采權時，直接付給A公司40億美元，在8年后開采結束，再付給60億美元。如A公司要求的年投資回報率達到15%，問應接受哪個公司的投標?

　　甲公司：10億美元的10年年金終值：（第1年末支付）

　　F=10×（F/A，15%，10）=10×20.304=203.04（億美元）

　　乙公司：兩筆收款復利終值：

　　第1筆收款（40億美元）的終值（第1年初支付）

　　=40×（1+15%）10

　　=40×4.0456

　　=161.824（億美元）

　　第2筆收款（60億美元）的終值（第9年初支付）

　　=60×（1+15%）2

　　=60×1.3225

　　=79.35（億美元）

　　終值合計161.824+79.35=241.174（億美元）

　　因此，甲公司付出的款項終值小于乙公司付出的款項的終值，應接受乙公司的投標。

　　2.償債基金的計算

　　償債基金是指為了在約定的未來某一時點清償某筆債務或積聚一定數額的資金而必須分次等額形成的存款準備金。也就是為使年金終值達到既定金額的年金數額(即已知終值F，求年金A)。

　　在普通年金終值公式中解出A，這個A就是償債基金。計算公式如下：

　　式中， 稱為“償債基金系數”，記作（A/F，i，n）。

　　【例題】某人擬在5年后還清10000元債務，從現在起每年末等額存入銀行一筆款項。假設銀行利率為10％，則每年需存入多少元？

　　解答：

　　方法1：

　　根據公式A＝F×i/[（1+i）n-1]

　　＝10000× 10％/[（1+10％）5-1]

　　方法2：

　　＝10000×（A／F，10％，5）（注：償債基金系數：年金終值系數的倒數）

　　＝10000×0.1638

　　＝1638（元）

　　【結論】

　　（1）償債基金和普通年金終值互為逆運算；

　　（2）償債基金系數和普通年金終值系數互為倒數。

　　3.普通年金現值

　　普通年金現值的計算實際上就是已知年金A，求普通年金現值P。

　　P=A× =A×(P/A,i,n)=A×普通年金現值系數

　　【例題】某投資項目于2000年初動工，設當年投產，從投產之日起每年可得收益40000元。按年利率6%計算，計算預期10年收益的現值。

　　【解答】P＝40000×（P/A，6%，10）

　　＝40000×7.3601

　　＝294404（元）

　　【例題】錢小姐最近準備買房，看了好幾家開發商的售房方案，其中一個方案是A開發商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10萬元，然后分6年每年年末支付3萬元。錢小姐很想知道每年付3萬元相當于現在多少錢，好讓她與現在2000元/平方米的市場價格進行比較。（貸款利率為6%）

　　【解答】P=3×（P/A，6%，6）=3×4.9173=14.7519（萬元）

　　錢小姐付給A開發商的資金現值為：10+14.7519=24.7519（萬元）

　　如果直接按每平方米2000元購買，錢小姐只需要付出20萬元，可見分期付款對她不合算。

　　4.年資本回收額的計算

　　年資本回收額是指在約定年限內等額回收初始投入資本或清償所欠債務的金額。年資本回收額的計算實際上是已知普通年金現值P，求年金A。

　　上式中， 稱為資本回收系數，記作（A/P，i，n）。

　　【例題】某企業借得1000萬元的貸款，在10年內以年利率12％等額償還，則每年應付的金額為多少？

　　解答：A=1000×12％/[1-（1+12％）-10]

　　=1000×1/（P/A，12％，10）

　　=1000×1/5.6502

　　≈177（萬元）

　　【結論】

　　（1）年資本回收額與普通年金現值互為逆運算；

　　（2）資本回收系數與年金現值系數互為倒數。

　　5.即付年金終值的計算

　　即付年金的終值是指把即付年金每個等額A都換算成第n期期末的數值，再來求和。

　　即付年金種植的計算公式為：

　　方法一： F＝A×(F/A，i，n)×(1＋i)＝普通年金終值×(1＋i)

　　方法二：

　　即付年金終值＝年金額×即付年金終值系數(在普通年金終值系數基礎上期數加1，系數減1)

　　F＝A×[(F/A，i，n＋1)-1]

　　【例題】為給兒子上大學準備資金，王先生連續6年于每年年初存入銀行3000元。若銀行存款利率為5%，則王先生在第6年末能一次取出本利和多少錢?

　　【解答】

　　【方法一】F=3000×（F/A，5%，6）×（1+5%）=21426（元）

　　【方法二】F=A×[（F/A，i，n+1）-1]

　　=3000×[（F/A，5%，7）-1]

　　=3000×（8.1420-1）

　　=21426（元）

　　6.即付年金現值

　　即付年金的現值就是把即付年金每個等額的A都換算成第一期期初的數值即第0期期末的數值，再求和。即付年金現值的計算就是已知每期期初等額收付的年金A，求現值P。

　　方法一：

　　＝A·（P/A，i，n）（1＋i）

　　方法二：期數減1，系數加1

　　【例題】張先生采用分期付款方式購入商品房一套，每年年初付款15 000元，分l0年付清。若銀行利率為6%，該項分期付款相當于一次現金支付的購買價是多少?

　　解答：

　　方法一：

　　P＝A·（P/A，i，n）（1＋i）

　　＝15 000×[（P/A，6%，l0）×（1＋6%）]

　　＝15 000×[7.3601×（1＋6%）]

　　＝15 000×7.8017

　　＝117 025.5（元）

　　方法二：

　　P＝A·{（P/A，i，n-1）+1}

　　＝15 000×[（P/A，6%，9）+1]

　　＝15 000×[6.8017+1]

　　＝117 025.5（元）

　　7.遞延年金終值

　　定義：例如分期付款，前5年不支付，第6年起到15年，每年末支付18萬元。

　　遞延年金的終值計算與普通年金的終值計算一樣，只是要注意期數。

　　F＝A（F/A，i，n）

　　式中，“n”表示的是A的個數，與遞延期無關。

　　【例題】某投資者擬購買一處房產，開發商提出了三個付款方案：

　　方案一是現在起15年內每年末支付10萬元；

　　方案二是現在起15年內每年初支付9.5萬元；

　　方案三是前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18萬元。

　　假設按銀行貸款利率10%復利計息，若采用終值方式比較，問哪一種付款方式對購買者有利？

　　解答：

　　方案一：F＝10×（F/A，10%，15）

　　＝10×31.772＝317.72（萬元）

　　方案二：F＝9.5×[（F/A，10%，15）（1＋10%）]

　　＝332.03（萬元）

　　方案三：F＝18×（F/A，10%，10）＝18×15.937＝286.87（萬元）

　　從上述計算可得出，采用第三種付款方案對購買者有利。

　　8.遞延年金現值

　　圖示：例如分期付款，前5年不支付，第6年起到15年，每年末支付18萬元。

　　計算方法一：

　　先將遞延年金視為n期普通年金，求出在m期普通年金現值，然后再折算到第一期期初：

　　P0＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

　　式中，m為遞延期，n為連續收支期數。

　　計算方法二：

　　先計算m＋n期年金現值，再減去m期年金現值：

　　P0＝A×[（P/A，i，m＋n）-（P/A，i，m）]

　　計算方法三：

　　先求遞延年金終值再折現為現值：

　　P0＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）

　　【例題】某企業向銀行借入一筆款項，銀行貸款的年利率為10%，每年復利一次。銀行規定前l0年不用還本付息，但從第11年～第20年每年年末償還本息5 000元。

　　要求：用兩種方法計算這筆款項的現值。

　　解答：方法一：

　　P＝A×（P/A，10%，l0）×（P/F，10%，l0）

　　＝5 000×6.145×0.386

　　＝11 860（元）

　　方法二：

　　P＝A×[（P/A，10%，20）-（P/A，10%，l0）]

　　＝5 000×[8.514-6.145]

　　＝11 845（元）

　　兩種計算方法相差l5元，是因小數點的尾數造成的。

　　9．永續年金的現值

　　永續年金的現值可以看成是一個n無窮大后付年金的現值.

　　P（n→∞）＝A[1-（1＋i）-n]/i＝A/i

　　【例題】歸國華僑吳先生想支持家鄉建設，特地在祖籍所在縣設立獎學金。獎學金每年發放一次，獎勵每年高考的文理科狀元各10 000元。獎學金的基金保存在中國銀行該縣支行。銀行一年的定期存款利率為2%。問吳先生要投資多少錢作為獎勵基金?

　　解答：由于每年都要拿出20 000元，因此獎學金的性質是一項永續年金，其現值應為：

　　20 000/2%＝1 000 000（元）

　　也就是說，吳先生要存入1 000 000元作為基金，才能保證這一獎學金的成功運行。

　　【例題•單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行一筆固定金額的款項，若按復利用最簡便算法計算第n年末可以從銀行取出的本利和，則應選用的時間價值系數是（ ）。

　　A.復利終值數

　　B.復利現值系數

　　C.普通年金終值系數

　　D.普通年金現值系數

　　【答案】C

　　【例題•單選題】根據資金時間價值理論，在普通年金現值系數的基礎上，期數減1、系數加1的計算結果，應當等于（ ）。

　　A.遞延年金現值系數 B.后付年金現值系數

　　C.即付年金現值系數 D.永續年金現值系數

　　【答案】C

　　【例題•單選題】在下列各項資金時間價值系數中，與資本回收系數互為倒數關系的是（ ）。

　　A.（P/F，I，n） B.（P/A，I，n）

　　C.（F/P，I，n） D.（F/A，I，n）

　　【答案】B

　　【例題•判斷題】在有關資金時間價值指標的計算過程中，普通年金現值與普通年金終值是互為逆運算的關系。（ ）

　　【答案】×