第二節(jié) 資金時間價值

　　考點一、資金時間價值的含義

　　資金時間價值，是指一定量資金在不同時點上的價值量差額。

　　通常情況下，它相當(dāng)于沒有風(fēng)險也沒有通貨膨脹情況下的社會平均利潤率，是利潤平均化規(guī)律發(fā)生作用的結(jié)果。

　　利率=純粹利率+通貨膨脹補償率+風(fēng)險收益率

　　考點二、現(xiàn)值和終值的計算

　　終值又稱將來值，是現(xiàn)在一定量的資金折算到未來某一時點所對應(yīng)的金額，通常記作F。

　　現(xiàn)值是指未來某一時點上的一定量資金折算到現(xiàn)在所對應(yīng)的金額，通常記作P。

　　現(xiàn)值和終值是一定量資金在前后兩個不同時點上對應(yīng)的價值，其差額即為資金的時間價值。

　　(一)單利的現(xiàn)值和終值

　　1．單利終值

　　【例題】某人將100元存入銀行，年利率2％，求5年后的終值。

　　=1OO+1OO×2％×5 =1OO×（1+5×2％）=110（元）

　　F＝P×（1＋i×n）

　　2.單利現(xiàn)值

　　P＝F/（1＋i×n）

　　【例題】某人為了5年后能從銀行取出500元，在年利率2％的情況下，目前應(yīng)存入銀行的金額是多少？

　　P=F／（1+n×i）=500／（1+5×2％）≈454.55（元）

　　結(jié)論：

　　(1)單利的終值和單利的現(xiàn)值互為逆運算，

　　(2)單利終值系數(shù)(1+ n×i )和單利現(xiàn)值系數(shù)1／(1+ n×i)互為倒數(shù)。

　　(二)復(fù)利的現(xiàn)值和終值

　　復(fù)利計算方法是指每經(jīng)過一個計息期，要將該期所派生的利息加入本金再計算利息，逐期滾動計算，俗稱“利滾利”。這里所說的計息期，是指相鄰兩次計息的間隔，如年、月、日等。除非特別說明，計息期一般為一年。

　　1.復(fù)利終值

　　【例題】某人將100元存入銀行，復(fù)利年利率2％，求5年后的終值。

　　F＝P（1+1） n =100×（1+2％）5=110.4（元）

　　F=P（1+i） n

　　式中，（1+1）n為復(fù)利終值系數(shù)，記作（F／P，i，n），n為計息期。

　　2.復(fù)利現(xiàn)值

　　P=F／（1+i）n

　　式中，1／（1+i）n為復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，記作（P／F，i，n）；n為計息期。

　　【例題】某人為了5年后能從銀行取出100元，在復(fù)利年利率2％的情況下，求當(dāng)前應(yīng)存入金額。

　　P=F／（1+i）n =100／（1+2％）5＝90.57（元）

　　結(jié)論：

　　(1)復(fù)利終值和復(fù)利現(xiàn)值互為逆運算；

　　(2)復(fù)利終值系數(shù)和復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù)。

　　(三)年金終值和年金現(xiàn)值的計算

　　年金：等期等額收付款項。如交保險、季交房租；

　　包括普通年金(后付年金)、即付年金(先付年金)、遞延年金、永續(xù)年金等形式。

　　普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是從第一期開始發(fā)生等額收付，兩者的區(qū)別是普通年金發(fā)生在期末，而朗付年金發(fā)生在期初。

　　遞延年金和永續(xù)年金是派生出來的年金。遞延年金是從第二期或第二期以后才發(fā)生，而永續(xù)年金的收付期趨向于無窮大。

　　1．普通年金終值的計算(已知年金A，求終值F)

　　圖示：年末存入10000元，利率10%，5年后的本利和。

　　F=A× =A×(F/A,i,n)=A×普通年金現(xiàn)值系數(shù)

　　【例題】小王是位熱心于公眾事業(yè)的人，自1995年12月底開始，他每年都要向一位失學(xué)兒童捐款。小王向這位失學(xué)兒童每年捐款1000元，幫助這位失學(xué)兒童從小學(xué)一年級讀完九年義務(wù)教育。假設(shè)每年定期存款利率都是2％，則小王9年的捐款在2003年底相當(dāng)于多少錢？

　　F=1000×（F／A，2％，9）=1000×9.7546=9754.6（元）

　　【例題】A礦業(yè)公司決定將其一處礦產(chǎn)開采權(quán)公開拍賣，因此它向世界各國煤炭企業(yè)招標開礦。已知甲公司和乙公司的投標書最具有競爭力，甲公司的投標書顯示，如果該公司取得開采權(quán)，從獲得開采權(quán)的第1年開始，每年末向A公司交納10億美元的開采費，直到10年后開采結(jié)束。乙公司的投標書表示，該公司在取得開采權(quán)時，直接付給A公司40億美元，在8年后開采結(jié)束，再付給60億美元。如A公司要求的年投資回報率達到15%，問應(yīng)接受哪個公司的投標?

　　甲公司：10億美元的10年年金終值：（第1年末支付）

　　F=10×（F/A，15%，10）=10×20.304=203.04（億美元）

　　乙公司：兩筆收款復(fù)利終值：

　　第1筆收款（40億美元）的終值（第1年初支付）

　　=40×（1+15%）10

　　=40×4.0456

　　=161.824（億美元）

　　第2筆收款（60億美元）的終值（第9年初支付）

　　=60×（1+15%）2

　　=60×1.3225

　　=79.35（億美元）

　　終值合計161.824+79.35=241.174（億美元）

　　因此，甲公司付出的款項終值小于乙公司付出的款項的終值，應(yīng)接受乙公司的投標。

　　2.償債基金的計算

　　償債基金是指為了在約定的未來某一時點清償某筆債務(wù)或積聚一定數(shù)額的資金而必須分次等額形成的存款準備金。也就是為使年金終值達到既定金額的年金數(shù)額(即已知終值F，求年金A)。

　　在普通年金終值公式中解出A，這個A就是償債基金。計算公式如下：

　　式中， 稱為“償債基金系數(shù)”，記作（A/F，i，n）。

　　【例題】某人擬在5年后還清10000元債務(wù)，從現(xiàn)在起每年末等額存入銀行一筆款項。假設(shè)銀行利率為10％，則每年需存入多少元？

　　解答：

　　方法1：

　　根據(jù)公式A＝F×i/[（1+i）n-1]

　　＝10000× 10％/[（1+10％）5-1]

　　方法2：

　　＝10000×（A／F，10％，5）（注：償債基金系數(shù)：年金終值系數(shù)的倒數(shù)）

　　＝10000×0.1638

　　＝1638（元）

　　【結(jié)論】

　　（1）償債基金和普通年金終值互為逆運算；

　　（2）償債基金系數(shù)和普通年金終值系數(shù)互為倒數(shù)。

　　3.普通年金現(xiàn)值

　　普通年金現(xiàn)值的計算實際上就是已知年金A，求普通年金現(xiàn)值P。

　　P=A× =A×(P/A,i,n)=A×普通年金現(xiàn)值系數(shù)

　　【例題】某投資項目于2000年初動工，設(shè)當(dāng)年投產(chǎn)，從投產(chǎn)之日起每年可得收益40000元。按年利率6%計算，計算預(yù)期10年收益的現(xiàn)值。

　　【解答】P＝40000×（P/A，6%，10）

　　＝40000×7.3601

　　＝294404（元）

　　【例題】錢小姐最近準備買房，看了好幾家開發(fā)商的售房方案，其中一個方案是A開發(fā)商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10萬元，然后分6年每年年末支付3萬元。錢小姐很想知道每年付3萬元相當(dāng)于現(xiàn)在多少錢，好讓她與現(xiàn)在2000元/平方米的市場價格進行比較。（貸款利率為6%）

　　【解答】P=3×（P/A，6%，6）=3×4.9173=14.7519（萬元）

　　錢小姐付給A開發(fā)商的資金現(xiàn)值為：10+14.7519=24.7519（萬元）

　　如果直接按每平方米2000元購買，錢小姐只需要付出20萬元，可見分期付款對她不合算。

　　4.年資本回收額的計算

　　年資本回收額是指在約定年限內(nèi)等額回收初始投入資本或清償所欠債務(wù)的金額。年資本回收額的計算實際上是已知普通年金現(xiàn)值P，求年金A。

　　上式中， 稱為資本回收系數(shù)，記作（A/P，i，n）。

　　【例題】某企業(yè)借得1000萬元的貸款，在10年內(nèi)以年利率12％等額償還，則每年應(yīng)付的金額為多少？

　　解答：A=1000×12％/[1-（1+12％）-10]

　　=1000×1/（P/A，12％，10）

　　=1000×1/5.6502

　　≈177（萬元）

　　【結(jié)論】

　　（1）年資本回收額與普通年金現(xiàn)值互為逆運算；

　　（2）資本回收系數(shù)與年金現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù)。

　　5.即付年金終值的計算

　　即付年金的終值是指把即付年金每個等額A都換算成第n期期末的數(shù)值，再來求和。

　　即付年金種植的計算公式為：

　　方法一： F＝A×(F/A，i，n)×(1＋i)＝普通年金終值×(1＋i)

　　方法二：

　　即付年金終值＝年金額×即付年金終值系數(shù)(在普通年金終值系數(shù)基礎(chǔ)上期數(shù)加1，系數(shù)減1)

　　F＝A×[(F/A，i，n＋1)-1]

　　【例題】為給兒子上大學(xué)準備資金，王先生連續(xù)6年于每年年初存入銀行3000元。若銀行存款利率為5%，則王先生在第6年末能一次取出本利和多少錢?

　　【解答】

　　【方法一】F=3000×（F/A，5%，6）×（1+5%）=21426（元）

　　【方法二】F=A×[（F/A，i，n+1）-1]

　　=3000×[（F/A，5%，7）-1]

　　=3000×（8.1420-1）

　　=21426（元）

　　6.即付年金現(xiàn)值

　　即付年金的現(xiàn)值就是把即付年金每個等額的A都換算成第一期期初的數(shù)值即第0期期末的數(shù)值，再求和。即付年金現(xiàn)值的計算就是已知每期期初等額收付的年金A，求現(xiàn)值P。

　　方法一：

　　＝A·（P/A，i，n）（1＋i）

　　方法二：期數(shù)減1，系數(shù)加1

　　【例題】張先生采用分期付款方式購入商品房一套，每年年初付款15 000元，分l0年付清。若銀行利率為6%，該項分期付款相當(dāng)于一次現(xiàn)金支付的購買價是多少?

　　解答：

　　方法一：

　　P＝A·（P/A，i，n）（1＋i）

　　＝15 000×[（P/A，6%，l0）×（1＋6%）]

　　＝15 000×[7.3601×（1＋6%）]

　　＝15 000×7.8017

　　＝117 025.5（元）

　　方法二：

　　P＝A·{（P/A，i，n-1）+1}

　　＝15 000×[（P/A，6%，9）+1]

　　＝15 000×[6.8017+1]

　　＝117 025.5（元）

　　7.遞延年金終值

　　定義：例如分期付款，前5年不支付，第6年起到15年，每年末支付18萬元。

　　遞延年金的終值計算與普通年金的終值計算一樣，只是要注意期數(shù)。

　　F＝A（F/A，i，n）

　　式中，“n”表示的是A的個數(shù)，與遞延期無關(guān)。

　　【例題】某投資者擬購買一處房產(chǎn)，開發(fā)商提出了三個付款方案：

　　方案一是現(xiàn)在起15年內(nèi)每年末支付10萬元；

　　方案二是現(xiàn)在起15年內(nèi)每年初支付9.5萬元；

　　方案三是前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18萬元。

　　假設(shè)按銀行貸款利率10%復(fù)利計息，若采用終值方式比較，問哪一種付款方式對購買者有利？

　　解答：

　　方案一：F＝10×（F/A，10%，15）

　　＝10×31.772＝317.72（萬元）

　　方案二：F＝9.5×[（F/A，10%，15）（1＋10%）]

　　＝332.03（萬元）

　　方案三：F＝18×（F/A，10%，10）＝18×15.937＝286.87（萬元）

　　從上述計算可得出，采用第三種付款方案對購買者有利。

　　8.遞延年金現(xiàn)值

　　圖示：例如分期付款，前5年不支付，第6年起到15年，每年末支付18萬元。

　　計算方法一：

　　先將遞延年金視為n期普通年金，求出在m期普通年金現(xiàn)值，然后再折算到第一期期初：

　　P0＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

　　式中，m為遞延期，n為連續(xù)收支期數(shù)。

　　計算方法二：

　　先計算m＋n期年金現(xiàn)值，再減去m期年金現(xiàn)值：

　　P0＝A×[（P/A，i，m＋n）-（P/A，i，m）]

　　計算方法三：

　　先求遞延年金終值再折現(xiàn)為現(xiàn)值：

　　P0＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）

　　【例題】某企業(yè)向銀行借入一筆款項，銀行貸款的年利率為10%，每年復(fù)利一次。銀行規(guī)定前l(fā)0年不用還本付息，但從第11年～第20年每年年末償還本息5 000元。

　　要求：用兩種方法計算這筆款項的現(xiàn)值。

　　解答：方法一：

　　P＝A×（P/A，10%，l0）×（P/F，10%，l0）

　　＝5 000×6.145×0.386

　　＝11 860（元）

　　方法二：

　　P＝A×[（P/A，10%，20）-（P/A，10%，l0）]

　　＝5 000×[8.514-6.145]

　　＝11 845（元）

　　兩種計算方法相差l5元，是因小數(shù)點的尾數(shù)造成的。

　　9．永續(xù)年金的現(xiàn)值

　　永續(xù)年金的現(xiàn)值可以看成是一個n無窮大后付年金的現(xiàn)值.

　　P（n→∞）＝A[1-（1＋i）-n]/i＝A/i

　　【例題】歸國華僑吳先生想支持家鄉(xiāng)建設(shè)，特地在祖籍所在縣設(shè)立獎學(xué)金。獎學(xué)金每年發(fā)放一次，獎勵每年高考的文理科狀元各10 000元。獎學(xué)金的基金保存在中國銀行該縣支行。銀行一年的定期存款利率為2%。問吳先生要投資多少錢作為獎勵基金?

　　解答：由于每年都要拿出20 000元，因此獎學(xué)金的性質(zhì)是一項永續(xù)年金，其現(xiàn)值應(yīng)為：

　　20 000/2%＝1 000 000（元）

　　也就是說，吳先生要存入1 000 000元作為基金，才能保證這一獎學(xué)金的成功運行。

　　【例題•單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行一筆固定金額的款項，若按復(fù)利用最簡便算法計算第n年末可以從銀行取出的本利和，則應(yīng)選用的時間價值系數(shù)是（ ）。

　　A.復(fù)利終值數(shù)

　　B.復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)

　　C.普通年金終值系數(shù)

　　D.普通年金現(xiàn)值系數(shù)

　　【答案】C

　　【例題•單選題】根據(jù)資金時間價值理論，在普通年金現(xiàn)值系數(shù)的基礎(chǔ)上，期數(shù)減1、系數(shù)加1的計算結(jié)果，應(yīng)當(dāng)?shù)扔冢?）。

　　A.遞延年金現(xiàn)值系數(shù) B.后付年金現(xiàn)值系數(shù)

　　C.即付年金現(xiàn)值系數(shù) D.永續(xù)年金現(xiàn)值系數(shù)

　　【答案】C

　　【例題•單選題】在下列各項資金時間價值系數(shù)中，與資本回收系數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系的是（ ）。

　　A.（P/F，I，n） B.（P/A，I，n）

　　C.（F/P，I，n） D.（F/A，I，n）

　　【答案】B

　　【例題•判斷題】在有關(guān)資金時間價值指標的計算過程中，普通年金現(xiàn)值與普通年金終值是互為逆運算的關(guān)系。（ ）

　　【答案】×