六、教學設計題(本大題1小題，30分)

17．針對“一元二次方程”起始課的教學，兩位老師給出了如下教學設計片段：

【教師甲】

設置問題：請同學們根據下列問題，只列出含未知數x的方程：

(1)一個正方形的面積為2，求正方形的邊長x。

預設：學生會分別列出兩個方程。

教師要求學生分別整理成方程左側降冪排列，右側為零的形式，然后引導學生完成下面兩件事：對比“一元一次方程”的定義，為這類方程定義一個名稱——一元二次方程。再請學生自行寫出幾個不同的一元二次方程，并提煉出一元二次方程的一般表達式。

【教師乙】

上課開始。提問：什么是“一元一次方程”?請你根據“一元一次方程”的定義，給出“一元二次方程”的定義，并舉出幾個“一元二次方程”的例子。在學生舉例的基礎上，提煉出“一元二次方程”的一般表達式。

請完成下列任務：

(1)請分析兩位老師引入“一元二次方程”概念設計方案的各自的特點。(15分)

(2)在教學中，當引入一個新的數學概念之后，往往通過例題、習題加深對概念的理解。請針對“一元二次方程”概念，設計不同難度的兩道例題和兩道練習題，以加深學生對“一元二次方程”概念的理解。(15分)

參考答案

13．【參考答案】

教學過程：

(1)情境引入

話說某天。有兩個小朋友得到了一塊三角形蛋糕，他們決定把它平分吃掉，你能幫他們解決這個問題嗎?若又來了兩個人呢?(從三角形的中線引入到三角形的中位線，可以和三角形的中線比較，加深認識。)

(2)探索新知

①學生自己動手畫一條三角形的中位線，通過觀察、測量，猜測三角形中位線的性質，把發現的規律用命題形式表示出來。

學生親身經歷通過觀察、實驗等數學活動，發現數學的過程，這對培養學生發現問題和提出問題的能力有著重要意義。

②證明三角形的中位線定理

此處證明經驗較少，難度較高，可以提示學生從線段倍分轉化為相等作為突破口，逐漸引導到利用平行四邊形的相關知識解決問題。

③定理總結

展示三角形的中位線定理用幾何語言如何表述，以及探討定理有哪些用處。

(3)鞏固練習

智力過三關如圖，在△ABC中，D，E，F分別是AB，AC，BC邊上的中點。

(4)綜合應用和知識拓展

①任意畫一個四邊形，順次連結四邊中點，得到一個什么四邊形?

②證明中點四邊形是一個平行四邊形。

定理學習的一般環節：(1)了解定理的內容，能夠解決什么問題(情境引入中體現)；(2)理解定理的含義，認識定理的條件和結論，如在公式推導過程中對條件引起注意，通過對結論從結構，功能，性質，使用步驟等角度分析以加深印象和理解(探索新知中體現)；(3)定理的證明或推導過程：學生與老師一起研究證明方法．如不需證明，學生根據老師提供的材料體會定理規定的合理性(探索新知中體現)；(4)熟悉定理的使用。循序漸進地定理的應用，將定理納入到已有的知識體系中去(鞏固練習中體現)；(5)引申和拓展定理的運用(知識拓展中體現)。

四、論述題

15．【參考答案】

(1)數學的嚴謹性，是指數學具有很強的邏輯性和較高的精確性，即邏輯的嚴格性和結論的確定性。量力性是指學生的可接受性。這一原則，說明教學中的數學知識的邏輯嚴謹性與學生的可接受性之間相適應的關系。

理論知識的嚴謹程度要適合學生的～般知識結構與智力發展水平，隨著學生知識結構的不斷完善，心理發展水平的提高，逐漸增強理論的嚴謹程度；反過來，又要通過恰當的理論嚴謹性逐漸促進學生的接受能力。

顯然，這一原則是根據數學本身的特點及學生心理發展的特點提出的。但是，在學習過程中，學生的心理發展是逐步形成的，不同的年齡階段，其感知、記憶、想象、思維、能力等心理因素都有不同的發展水平。這種心理發展的漸變性決定了在教學中不可能對數學理論的研究達到完全嚴密的程度，而應該在不同的教學階段，依據不同的教學目的和內容而提出不同的嚴謹性要求。即數學教學的嚴謹性是相對的。

(2)測量模型：某氣象站測得海拔每升高1千米，溫度降低0．6攝氏度，觀察地的氣溫是0攝氏度，問在觀察地點以下3千米的地方，氣溫是多少攝氏度?我們規定，氣溫升高為正，氣溫下降為負，觀察地點以上為正，觀察地以下為負，易得出問題算式(-0．6)×(-3)=1．8。

尋找模式法：由正數與負數，負數與零相乘的法則，可以得出下列式子：

(-4)×(+3)=-12；

(-4)×(+2)=-8；

(-4)×(+1)=-4；

(-4)×(0)=0；

(-4)×(-1)=?；

(-4)×(-2)=?；

(-4)×(-3)=?；

仔細觀察可以發現，從上到下，被乘數是不變的，乘數每減少1，積就增加4，因此，0增加4得到4，然后是8和12，所以(-4)×(-1)=4；

(-4)×(-2)=8；

(-4)×(-3)=12；從而引出“負負得正”運算法則。

(3)在初中“負負得正”運算法則的教學中，可以根據學生的認知水平和學生接受的難易程度入手，設法安排學生逐步適應的過程與機會，從正數乘以負數積為負數入手，從上到下，被乘數是不變的，乘數每減少1，積就增加一個數4。然后再利用一些數學模型解析“負負得正”運算法則，達到嚴謹性與量力性相結合。

五、案例分析題

16．【參考答案】

(1)學生丙正確，學生甲、乙錯誤。

除以整數的運算法則理解不清，還有對整數乘以分數的運算法則沒有掌握或者是粗心。

(3)運算能力是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。可見，運算能力的構成并不只是簡單應用機械重復已學的法則和公式，還包括學生對所學知識的體驗、選擇與主動建構。為了有效提高學生有理數的運算能力，應從以下幾個方面入手：

第一，加強概念、算理的教學，重視展現知識發生與發展的過程。數學新課程的教學突出“經歷感受”，教師應明確自己的角色轉換，不要囿于傳統教學方式中的“告訴”和“講解”。

第二，要認真分析學生出錯的原因，找準錯誤的根源，對癥施治。學生出錯的地方往往帶有普遍性，如在加減運算、有理數的乘方中經常發生符號錯誤，在數與多項式相乘的過程中出現運算錯誤，對乘方的概念理解錯誤等等。教師要將學生出現的錯誤作為良好的教學資源，充分利用課堂的集成效應。在學生注意力的黃金時段內重點講解學生作業反饋中大面積出現的問題，爭取集中處理。

第三，教師要認真地研究學生，樹立正確的學生觀。七年級的學生都經歷了小學非負數的運算，頭腦中裝著“和不小于任一加數，差不大于被減數。運算不需考慮符號”等等一些計算經驗。而在學習有理數的運算過程中，由于引入了負數，出現了新知識與原有知識不相吻合的情況．新知識的圖式結構與原有圖式相沖突．必須通過順應來完成。教師的教學必須尊重學生的實際經驗，重視學生對知識的理解與實際學習．切不可急于求成。

六、教學設計題

17．【參考答案】

(1)教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者和合作者。數學教學活動應激發學生興趣。調動學生積極性，引發學生思考，鼓勵學生的創造性思維。在教學的過程中教師應注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。也注重以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎。面向全體學生，采取啟發式和因材施教的教學。學生在生動活潑的、主動的教學課堂中，更容易吸收知識，但也應注重多種學習方式相結合，除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。

教師甲的做法非常符合素質教育的要求的，在教學中體現教師的組織者、引導者作用，學生的主體地位，在學生已有知識的基礎上預設了正面的教學環境，先讓學生利用已有的知識，列出相應的方程，再逐步引進新的教學內容，對比一元一次和一元二次方程的區別，進而引導學生總結出一元二次方程的概念。體現了螺旋上升課堂內容安排和預設與生成的要求，同時也充分地調動了學生學習的積極性和主動性，是非常好的課堂設計。

教師乙的做法相對教師甲來說，是有所欠缺的，沒有給學生預設情境，直接讓學生去生成一元二次方程的概念，加大了學生接受新知識的難度，同時還不利于學生對新知識的透徹理解，雖然體現了學生的主體地位，但是老師的引導作用沒有充分發揮。

(2)概念的引入例子