3.相關分析

　　所謂相關分析，是研究現象之間是否存在某種依存關系，并對具體有依存關系的現象探討其相關方向以及相關程度，是研究隨機變量之間的相關關系的一種統計方法。

　　變量之間的相關關系主要有線性相關和非線性相關、正相關和負相關等幾種形式。

　　對兩個變量間線性相關程度的測量稱為簡單相關系數。樣本相關系數定義公式為:

　　式中，r為樣本相關系數，COVXY為協方差，Sx、Sy分別是變量x和y的標準差。(注意：公式中分子分母求和表達式中應該是i=1到n，而不是n=1到n)

　　相關系數r的取值范圍在-1～+1之間。

　　·r=1或r=-1時，表明變量間的關系為完全正相關或完全負相關，這是兩種極端的情況，實際上表明兩個變量之間是線性關系;

　　·r=0時，表明變量間不存在線性相關關系，可能是無相關，也可能是非線性相關;

　　·0<1時，表明變量間存在正相關關系;< p>

　　·-l<0時，表明變量同存在負相關關系。< p>

　　|r|愈接近于l，變量間相關程度愈高，|r|愈接近于0，相關程度愈低。

　　在一般情況下，總體相關系數p是未知的，一般是用樣本相關系數r作為總體相關系數P的估計值。但由于存在樣本抽樣的隨機性，樣本相關系數并不直接反映總體相關程度，因而，計算出來的樣本相關系數在多大程度上值得信賴，需要進行檢驗。

　　|r|<自由度(df)為(n-2)的t統計量t(n-2)、顯著性為a(10%;5%)的相關系數(查相關系數表)，其相關性是顯著的。所謂“顯著水平”或r=0，指的是很少會發生的概率。

　　(教材這句話是錯誤的，正確的表達為：

　　在實際中，因為研究目的、變量類型的不同，采用的相關分析也不同。比較常用的相關分析有二元定距變量的相關分析、二元定序變量的相關分析、偏相關分析和距離分析等。

　　(二)推論統計分析

　　推論統計是在隨機抽樣的基礎上，根據部分資料(數據)推斷總體的方法，也即利用樣本資料對抽出樣本的總體做出推論的方法。

　　1.單個樣本的參數估計

　　參數是指總體的某一特征值，如均值、方差等，往往是未知數;而根據樣本數據計算出來的均值、樣本標準差、樣本比例一般稱為樣本“統計量”。參數估計是根據樣本統計量對總體未知參數進行某種估計推斷。

　　(1)點估計。當總體分布的形式已知，但其中的一個或多個參數未知時，如果從總體中抽取一個樣本，用該樣本對未知參數作一個數值點的估計，稱為參數的點估計。

　　例如：假設對北京1800萬人的工資水平進行調查，一般情況下，需要進行抽樣調查，假設抽取1000個樣本，得出的平均工資為2500元每月，這個2500就是樣本的平均值，用 來表示，方差為200，所謂的點估計就是直接用樣本的均值和方差來表示總體的均值和方差，即北京1800萬人的平均工資就是2500元，方差為200。

　　點估計有多種方法，如矩法、最大似然法、最小二乘法等。

　　(2)區間估計。區間估計是用一個區間估計總體未知參數。設x1…，xn是來自總體的一個樣本，對于給定的α(0<α<1)，若有兩個統計量θ1 (x1，…，x2)和θ2 (x1，…，xn)，使得：P(θ1<θ>θ2)=1—α，則稱1—α為信度(或置信度、置信概率)，(θ1θ2)是θ的信度為1—α的置信區間，α稱為顯著性水平。

　　置信區間給出了區間估計的精確程度，區間越小精確度越高。置信概率給出了區間估計的可靠性。

　　例如1800萬人的工資進行區間估計時，取α為10%，置信區間為(2300，2700)，就表示北京1800萬人的平均工資μ有90%的概率落在2300到2700元之間。或者說進行100次估計時，有大約90次是位于2300到2700之間，有大約10次位于2300到2700之外。

　　①總體方差σ2已知時，總體均值μ的區間估計(采用Z統計量)

　　置信度為l一α時，總體均值μ的置信區間為：

　　即： ，那么

　　是區間信度下的臨界點，稱可靠性系數。信度越高，可靠性系數越大。

　　是區間估計時已知n和σ，對應一定的信度的置信區間的半徑，也就是估計時的最大允許誤差。

　　②總體方差σ2未知時，總體均值μ的區間估計(采用t統計量)

　　如果總體服從正態分布，但σ2未知，可以用樣本標準差S代替σ建立置信區間。此時統計量不是服從標準正態分布，而是服從自由度(df)為n-1的t分布。

　　此時，總體均值μ在置信度為1-α下的置信區間為：

　　2.單個樣本的假設檢驗

　　參數估計和假設檢驗是統計推斷的重要組成部分，它們都是利用樣本信息對總體狀況做出某種推斷(判斷)，但是推斷的角度不同。

　　·參數估計是用樣本統計量估計總體參數，估計前總體參數是未知的。(例如，對北京市1800萬人平均工資進行調查，參數估計就是指在調查之前不知道平均工資是多少，然后采用抽樣調查，抽取1000個樣本進行調查，這1000人的平均工資是2500，就認為1800萬人的平均工資是2500)

　　·假設檢驗則是先對總體參數的值提出一個假設，然后利用樣本信息，根據抽樣分布的原理去檢驗原先提出的假設是否成立。(例如，對北京市1800萬人平均工資進行調查，假設檢驗就是指在調查之前假設這1800萬人的平均工資是3000，然后采用抽樣調查，抽取1000個樣本進行調查，利用這1000人的平均工資數來判斷3000的假設對不對)

　　進行假設檢驗時，通常經過以下步驟：

　　(1)提出原假設和替換(備擇)假設。預先所設的這一假設稱為原假設，用H0表示。與原假設相對的假設是替換假設，它是原假設經檢驗不成立被拒絕接受時，所應接受的與原假設相對立的情況，用H1表示。

　　(2)確定并計算檢驗統計量。

　　總體方差σ2已知時，應用Z統計量(服從正態分布)，計算公式為：

　　總體方差σ2未知時，應用t統計量(服從t分布)，計算公式為：

　　式中： 為樣本均值，μ0為原假設的參數值，σ(S)為總體(樣本)標準差

　　(3)規定顯著性水平α，并確定接受域與拒絕域的臨界值。通常可取α=0.05或α=0.01，查出 或者 的值，即接受域與拒絕域的臨界值。

　　(4)做出統計決策。

　　總體方差已知，用Z統計量檢驗：

　　如果|Z|< ，則檢驗統計量的值位于接受域，接受原假設，拒絕替換假設;

　　如果|Z|> ，則檢驗統計量的值位于拒絕域，拒絕原假設，接受替換假設。

　　總體方差未知，用t統計量檢驗：

　　如果|t|< ，則檢驗統計量的值位于接受域，接受原假設，拒絕替換假設;

　　如果|t|> ，則檢驗統計量的值位于拒絕域，拒絕原假設，接受替換假設。